Punkt und Gerade

PuUndGerade.PNG
Es ist eine Gerade gr(p,a)\gerade(p,a) und ein Punkt qq gegeben, und wir wollen den Abstand des Punktes von der Geraden bestimmen. Dazu gehen wir von der Ebene in Normalform durch qq mit dem Normalenvektor aa aus. Diese hat die Form heb(a,⟨q,a⟩)\hebene(a,\spo q,a\spc). Der Abstand der Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) zum Punkt qq entspricht dann genau dem Abstand des Schnittpunktes ss der Ebene heb(a,⟨q,a⟩)\hebene(a,\spo q,a\spc) von qq. Den Schnittpunkt ss bestimmen wir mit Formel 5415B zu
s=p+⟨q,a⟩−⟨p,a⟩⟨a,a⟩as=p+\dfrac{\spo q,a\spc-\spo p,a\spc}{\spo a,a\spc}a,(1)
also
s=p+⟨q−p,a⟩⟨a,a⟩as=p+ \dfrac { \spo q-p,a\spc } {\spo a,a\spc}a,(2)
und wir erhalten
 
 

Formel 5415E (Abstand Punkt und Gerade)

d(gr(p,a),q)=∣∣p−q+⟨q−p,a⟩⟨a,a⟩a∣∣d(\gerade(p,a),q)= \ntxbraceI{\ntxbraceI{p-q+ \dfrac { \spo q-p,a\spc } {\spo a,a\spc}a}}
Diese Formel entspricht der Formel 5415A für die euklidische Ebene.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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