Zwei Geraden

Es seien im euklidischen Raum zwei Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,b)\gerade(q,b) gegeben.
Dann gibt es drei Möglichkeiten für die Lage der Geraden zueinander:
Der Fall der windschiefen Geraden ist eine Besonderheit des euklidischen Raums gegenüber der euklidischen Ebene. Zwei Geraden sollen dabei nach Definition genau dann windschief heißen, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben und nicht parallel sind.

Abstand windschiefer Geraden

WsGeraden.PNG
Um den Abstand zweier windschiefer Geraden zu bestimmen, ermitteln wir die Gerade, die senkrecht auf den beiden Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,b)\gerade(q,b) steht. Damit muss sie den Richtungsvektor a×ba\cross b haben. Sei nun ss der Schnittpunkt der Gerade mit gr(p,a)\gerade(p,a) und entsprechend tt den Schnittpunkt mit gr(q,b)\gerade(q,b). Dann muss es ein γ∈R\gamma\in\dom R geben, so dass
s=t+γ(a×b)s=t+\gamma (a\cross b)(1)
gilt. Weiterhin liegt ss auf gr(p,a)\gerade(p,a) also gilt
s=p+αas=p+\alpha a(2)
für ein α∈R\alpha\in\dom R und tt liegt auf gr(q,b)\gerade(q,b) womit
t=q+βbt=q+\beta b(3)
für ein β∈R\beta\in\dom R gilt. Wir multiplizieren die beiden Gleichungen (2) und (3) skalar mit a×ba\cross b und erhalten ⟨s,a×b⟩=⟨p,a×b⟩\spo s,a\cross b\spc=\spo p,a\cross b\spc sowie ⟨t,a×b⟩=⟨q,a×b⟩\spo t,a\cross b\spc=\spo q,a\cross b\spc. Subtrahieren wir diese beiden Gleichungen ergibt sich
⟨s−t,a×b⟩=⟨p−q,a×b⟩\spo s-t,a\cross b\spc=\spo p-q,a\cross b\spc.(4)
Die Gleichung (1) der Verbindungsgeraden können wir zu s−t=γ(a×b)s-t=\gamma (a\cross b) umformen und skalar mit a×ba\cross b multiplizieren, was ⟨s−t,a×b⟩=γ∣∣a×b∣∣2\spo s-t,a\cross b\spc=\gamma ||a\cross b||^2 ergibt. Mit (4) erhalten wir: ⟨p−q,a×b⟩=γ∣∣a×b∣∣2\spo p-q,a\cross b\spc=\gamma ||a\cross b||^2; also
γ=⟨p−q,a×b⟩∣∣a×b∣∣2\gamma=\dfrac {\spo p-q,a\cross b\spc}{||a\cross b||^2}.(5)
Damit ergibt sich:

Formel 5405B (Abstand windschiefer Geraden)

Gegeben: gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,b)\gerade(q,b)
d=∣∣s−t∣∣=∣⟨p−q,a×b⟩∣∣∣a×b∣∣d=||s-t||=\dfrac {|\spo p-q,a\cross b\spc|}{||a\cross b||}.
WsGeraden2.PNG
Diese Formel entspricht genau derjenigen für den Abstand zwischen Punkt und Ebene, was uns zu folgender Deutung führt: Der Abstand zweier windschiefer Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,b)\gerade(q,b) entspricht dem Abstand des Punktes qq von der Ebene eb(p,a,b)\ebene(p,a,b) (was gleichbedeutend ist mit dem Abstand von pp zu eb(q,a,b)\ebene(q,a,b) ist.)
Um die beiden Schnittpunkte der Verbindungsgeraden mit gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,b)\gerade(q,b) zu berechnen, gehen wir von (1) aus und setzen (3) ein, was
s=q+βb+γ(a×b)s=q+\beta b+\gamma (a\cross b)(6)
ergibt. Diese Gleichung kann als Gleichung einer Ebene aufgefasst werden. Der gesuchte Punkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden (2). Unter Benutzung von Formel 5405A erhalten wir:
s=p+⟨q−p,b×(a×b)⟩⟨a,b×(a×b)⟩ as=p+\dfrac {\spo q-p,b\cross(a\cross b)\spc}{\spo a,b\cross(a\cross b)\spc}\, a.(7)
Damit haben wir den Schnittpunkt der Verbindungsgeraden mit gr(p,a)\gerade(p,a) erhalten. Mit Satz 5325A vereinfacht sich ⟨a,b×(a×b)⟩{\spo a,b\cross(a\cross b)\spc} zu ⟨a×b,a×b⟩=∣∣a×b∣∣2{\spo a\cross b,a\cross b\spc}=||a\cross b||^2 und es ist dann:
s=p+⟨q−p,b×(a×b)⟩∣∣a×b∣∣2 as=p+\dfrac {\spo q-p,b\cross(a\cross b)\spc}{||a\cross b||^2}\, a.(8)
Um den Schnittpunkt tt mit der Geraden gr(q,b)\gerade(q,b) zu ermitteln, gehen wir analog vor.
 
 

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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