Punkt und Ebene

Abstand für Ebene in Parameterdarstellung

DistEbeneParaPu.PNG
Sei eine Ebene in Parameterdarstellung eb(p,a,b)\ebene(p,a,b) und ein Punkt qq gegeben. Wir wollen den Abstand des Punktes von der Ebene d(q,eb(p,a,b))d(q,\ebene(p,a,b)) bestimmen.
Dazu berechnen wir den Durchstoßpunkt ss einer Geraden durch qq mit dem Richtungsvektor a×ba\cross b, der dem Normalenvektor der Ebene entspricht. Der gesuchte Abstand ergibt sich dann als Abstand d(q,s)d(q,s) des Punktes vom Durchstoßpunkt ss.
Für den gesuchten Punkt ss gilt einerseits die Geradengleichung
s=q+γ(a×b)s=q+\gamma (a\cross b)(1)
und andererseits die Ebenengleichung s=p+αa+βbs=p+\alpha a+\beta b. Wir multiplizieren die Ebenengleichung skalar mit a×ba\cross b und erhalten ⟨s,a×b⟩=⟨p,a×b⟩\spo s,a\cross b\spc=\spo p,a\cross b\spc. Nun setzen wir in diese Gleichung die Geradengleichung ein: ⟨q+γ(a×b),a×b⟩\spo q+\gamma (a\cross b),a\cross b\spc =γ∣∣(a×b)∣∣2+⟨q,a×b⟩=\gamma ||(a\cross b)||^2+\spo q,a\cross b\spc =⟨p,a×b⟩=\spo p,a\cross b\spc. Stellen wir diese Gleichung nach γ\gamma um, ergibt sich: γ=⟨p−q,a×b⟩∣∣(a×b)∣∣2\gamma=\dfrac {\spo p-q,a\cross b\spc}{||(a\cross b)||^2}. Diesen Wert für γ\gamma können wir nun in die Geradengleichung einsetzen, um ss zu ermitteln: s=q+⟨p−q,a×b⟩∣∣(a×b)∣∣2⋅(a×b)s=q+\dfrac {\spo p-q,a\cross b\spc}{||(a\cross b)||^2}\cdot(a\cross b).
Der gesuchte Abstand ergibt sich dann zu d(q,s)=∣∣s−q∣∣=∣∣⟨p−q,a×b⟩∣∣(a×b)∣∣2⋅(a×b)∣∣d(q,s)=||s-q||=\ntxbraceI{\ntxbraceI{\dfrac {\spo p-q,a\cross b\spc}{||(a\cross b)||^2}\cdot(a\cross b)}} =∣⟨p−q,a×b⟩∣∣∣(a×b)∣∣=\dfrac {|\spo p-q,a\cross b\spc|}{||(a\cross b)||}.
Also erhalten wir als Formel für den Abstand von Punkt und Ebene:
d(q,eb(p,a,b))=∣⟨p−q,a×b⟩∣∣∣(a×b)∣∣d(q,\ebene(p,a,b))=\dfrac {|\spo p-q,a\cross b\spc|}{||(a\cross b)||}.(2)
Liegt die Ebene in Normalform heb(c,γ):={x∈R3∣⟨c,x⟩=γ}\hebene(c,\gamma):=\{x\in\dom{R^3}| \spo c,x\spc=\gamma\} vor, so setzen wir (1) (s=q+αcs=q+\alpha c) in diese ein und erhalten ⟨c,q+αc⟩=γ\ntxbraceA{c,q+\alpha c}=\gamma, also ⟨c,q⟩+α⟨c,c⟩=γ\ntxbraceA{c,q}+\alpha \ntxbraceA{c,c}=\gamma, woraus folgt:
α=γ−⟨c,q⟩⟨c,c⟩\alpha=\dfrac{\gamma-\ntxbraceA{c,q}} {\ntxbraceA{c,c}}
und für den Schnittpunkt ss ergibt sich
s=q+γ−⟨c,q⟩⟨c,c⟩⋅cs=q+\dfrac{\gamma-\ntxbraceA{c,q}}{\ntxbraceA{c,c}}\cdot c.
Damit erhalten wir für den Abstand eine zu (2) analoge Formel
 
 

Formel 939A (Abstand Punkt zur Ebene in Normalform)

d(q,heb(c,γ))=∣γ−⟨c,q⟩∣∣∣c∣∣d(q,\hebene(c,\gamma))=\dfrac{|\gamma-\ntxbraceA{c,q}|}{||c||}

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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