Orthokomplement

Ortho.png
Eine Besonderheit der euklidischen Ebene ist das Orthokomplement \(\displaystyle {a}\ortho\) eines Ortsvektors \(\displaystyle a=\pmatrix { {x}\\{y}}\). Dies bildet in natürlicher Weise wieder einen Ortsvektor und wir definieren es mit
\(\displaystyle {a}\ortho =\pmatrix { {\uminus y}\\ {x}}\)
Also geht \(\displaystyle {a}\ortho\) aus \(\displaystyle a\) durch Drehung um 90° hervor.

Satz 5309A (Eigenschaften des Orthokomplements)

Für Ortsvektoren \(\displaystyle a\),\(\displaystyle b\) der euklidischen Ebene und reelle Zahlen \(\displaystyle t\in\dom R\) gilt:
  1. \(\displaystyle ({a}\ortho)\ortho=\uminus a\)
  2. \(\displaystyle (a+b)\ortho={a}\ortho+{b}\ortho\)
  3. \(\displaystyle (ta)\ortho =t\cdot {a}\ortho\)
  4. \(\displaystyle \spo{a}\ortho , a\spc=0\)
  5. \(\displaystyle \spo a\ortho, b\spc=-\spo a,b\ortho\spc\)
  6. \(\displaystyle ||{a}\ortho||=||a||\)
Damit ist \(\displaystyle \, \ortho: \dom{R^2}\rightarrow \dom {R^2}\) eine lineare Abbildung.
 
 

Beweis

Die Behauptungen hat man durch Einsetzen in die Definition schnell nachgerechnet. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5324A (Orthokomplement und Skalarprodukt)

Für drei Vektoren \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) der euklidischen Ebene gilt:
  1. \(\displaystyle \spo a,b\spc^2+\spo a,b\ortho\spc^2=||a||^2|b||^2=\spo a,a\spc\spo b,b\spc\)
  2. \(\displaystyle \spo a,b\ortho\spc c+ \spo b,c\ortho\spc a +\spo c,a\ortho\spc b=0\)
Dabei drückt ii. insbesondere aus, dass je drei Vektoren des \(\displaystyle \dom{R^2}\) linear abhängig sind.
Weiterhin kann man aus i. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ableiten, die aber schon im Satz 5310C für allgemeine euklidische Vektorräume bewiesen wurde.

Beweis

Wir setzen \(\displaystyle a=\pmatrix { {a_x}\\{a_y}}\), \(\displaystyle b=\pmatrix { {b_x}\\{b_y}}\).
(i): Mit \(\displaystyle b\ortho=\pmatrix { {-b_y}\\{b_x}}\) ergibt sich \(\displaystyle \spo a,b\spc^2+\spo a,b\ortho\spc^2\) \(\displaystyle =(a_xb_x+a_yb_y)^2+(-a_xb_y+a_yb_x)^2\) \(\displaystyle =(a_xb_x)^2+(a_yb_y)^2+2a_xa_yb_xb_y\)\(\displaystyle +(a_xb_y)^2+(a_yb_x)^2-2a_xa_yb_xb_y\) \(\displaystyle =(a_xb_x)^2+(a_yb_y)^2+(a_xb_y)^2+(a_yb_x)^2\) \(\displaystyle =({a_x}^2+{a_y}^2)({b_x}^2+{b_y}^2)\) \(\displaystyle =||a||^2|b||^2\).
(ii): Mit \(\displaystyle c=\pmatrix { {c_x}\\{c_y}}\) bedeutet die Behauptung: \(\displaystyle (-a_xb_y+a_yb_x)c+(-b_xc_y+b_yc_x)a\)\(\displaystyle +(-c_xa_y+c_ya_x)b=0\). Wenn wir diese Vektorgleichung für \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\) komponentenweise aufschreiben, ersieht man die Gültigkeit der beiden entstehenden Gleichungen sofort. \(\displaystyle \qed\)

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе