Dreiecke

Drei Vektoren \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) spannen ein (entartetes) Dreieck auf.

Flächeninhalt

Aus der Elementargeometrie wissen wir (Formel 5504A) , dass der Flächeninhalt sich als Produkt von einer Grundseite und der halben Höhe ergibt.
FlDreieck.png
Die Höhe durch \(\displaystyle c\) steht senkrecht auf \(\displaystyle b-a\) und hat damit eine Geradengleichung der Form
(1)
\(\displaystyle c+\alpha(b-a)\ortho\).
Für den Schnittpunkt \(\displaystyle s\) der Höhe mit der gegenüberliegenden Seite gilt:
(2)
\(\displaystyle s=a+\beta(b-a)=c+\alpha(b-a)\ortho\).
Multiplizieren wir diese Gleichung mit \(\displaystyle (b-a)\ortho\) erhalten wir
(3)
\(\displaystyle \spo a, (b-a)\ortho\spc=\spo c, (b-a)\ortho\spc+\alpha\spo (b-a)\ortho,(b-a)\ortho\spc\),
woraus sich
(4)
\(\displaystyle \alpha||(b-a)\ortho||^2= \spo a-c, b\ortho-a\ortho\spc\)
Die Länge der Höhe ist \(\displaystyle ||s-c||\) und mit (2) ergibt sich zu
(5)
\(\displaystyle ||s-c||=|\alpha|\cdot ||(b-a)\ortho||\),
und mit (4) haben wir wegen \(\displaystyle ||(b-a)\ortho||=||b-a||\)
(6)
\(\displaystyle ||s-c||=\dfrac{|\spo a-c, b\ortho-a\ortho\spc|}{||b-a||}\).
Setzen wir jetzt
(7)
\(\displaystyle [a,b,c]:=\spo a\ortho, b\spc +\spo b\ortho, c\spc +\spo c\ortho, a\spc\),
können wir einfach zeigen, dass
(8)
\(\displaystyle \spo a-c, b\ortho-a\ortho\spc=-[a,b,c]\),
und (6) erhält die Form
(9)
\(\displaystyle ||s-c||=\dfrac{|[a,b,c]|}{||a-b||}\).
Und schließlich erhalten wir
 
 

Formel 5504B (Flächeninhalt des Dreiecks)

(10)
\(\displaystyle A=\dfrac 1 2 |[a,b,c]|\)
Wir erhalten außerdem ein einfaches Kriterium, dafür, dass das Dreieck nicht entartet ist, drei Punkte also nicht auf einer Geraden liegen.
Drei Punkte \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) liegen genau dann auf einer Geraden, wenn [a,b,c]=0 gilt.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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