Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene

Parameterform

Wenn zwei Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,b)\gerade(q,b) einen Schnittpunkt ss haben sollen, muss es ein α,β∈R\alpha,\beta\in\dom R geben, so dass die Gleichung
s=p+αa=q+βbs=p+\alpha a=q+\beta b(1)
erfüllt ist. Multiplizieren wir die Gleichung (1) mit a⊥a\ortho bzw. b⊥b\ortho erhalten wir die beiden Identitäten
⟨s,a⊥⟩=⟨p,a⊥⟩=⟨q,a⊥⟩+β⟨b,a⊥⟩\spo s,a\ortho\spc=\spo p,a\ortho\spc=\spo q,a\ortho\spc+\beta\spo b,a\ortho\spc(2)
und
⟨s,b⊥⟩=⟨p,b⊥⟩+α⟨a,b⊥⟩=⟨q,b⊥⟩\spo s,b\ortho\spc=\spo p,b\ortho\spc+\alpha\spo a,b\ortho\spc=\spo q,b\ortho\spc.(3)
Diese Gleichungen können bei Geraden in beliebiger Lage nur dann eine Lösung haben, wenn ⟨a,b⊥⟩≠0\spo a,b\ortho\spc\neq 0 gilt.
Wir erhalten dann
α=⟨q,b⊥⟩−⟨p,b⊥⟩⟨a,b⊥⟩\alpha=\dfrac{\spo q,b\ortho\spc-\spo p,b\ortho\spc}{\spo a,b\ortho\spc} =⟨q−p,b⊥⟩⟨a,b⊥⟩=\dfrac{\spo q-p,b\ortho\spc}{\spo a,b\ortho\spc}(4)
bzw.
β=⟨p,a⊥⟩−⟨q,a⊥⟩⟨b,a⊥⟩\beta=\dfrac{\spo p,a\ortho\spc-\spo q,a\ortho\spc}{\spo b,a\ortho\spc} =⟨q−p,a⊥⟩⟨a,b⊥⟩=\dfrac{\spo q-p,a\ortho\spc}{\spo a,b\ortho\spc}
Für den Schnittpunkt:
s=p+αa=p+⟨q,b⊥⟩−⟨p,b⊥⟩⟨a,b⊥⟩as=p+\alpha a=p+\dfrac{\spo q,b\ortho\spc-\spo p,b\ortho\spc}{\spo a,b\ortho\spc}a =1⟨a,b⊥⟩(⟨a,b⊥⟩p−⟨p,b⊥⟩a+⟨q,b⊥⟩a)=\dfrac 1{\spo a,b\ortho\spc} (\spo a,b\ortho\spc p-\spo p,b\ortho\spc a+ \spo q,b\ortho\spc a).(5)
Um eine symmetrische Formel für den Schnittpunkt zu erhalten, benutzen wir die Identität ⟨a,b⊥⟩p−⟨p,b⊥⟩a=−⟨p,a⊥⟩b\spo a,b\ortho\spc p-\spo p,b\ortho\spc a=-\spo p,a\ortho\spc b, die aus Satz 5324A folgt und erhalten:
 
 

Formel 5414A (Schnittpunkt zweier Geraden)

s=1⟨a,b⊥⟩ (⟨q,b⊥⟩a−⟨p,a⊥⟩b)s=\dfrac 1{\spo a,b\ortho\spc}\, \braceNT{ \spo q,b\ortho\spc a-\spo p,a\ortho\spc b}(6)

Beispiel

Seien die beiden Geraden g1=(11)+α(21)g_1=\pmatrix { 1\\ 1}+\alpha \pmatrix {2\\ 1} und g2=(14)+β(1−1)g_2=\pmatrix { 1\\ 4}+\beta \pmatrix {1\\{-1}} gegeben. Dann sind die Vektoren für die obige Beziehung wie folgt zu setzen: p=(11)p=\pmatrix { 1\\ 1}, a=(21)a=\pmatrix {2\\ 1}, q=(14)q=\pmatrix { 1\\ 4} und b=(1−1)b=\pmatrix {1\\{-1}}. Wir berechnen a⊥=(−12)a\ortho=\pmatrix {{\uminus 1}\\ 2} und b⊥=(11)b\ortho=\pmatrix {1\\{1}} sowie ⟨a,b⊥⟩=3\spo a,b\ortho\spc= 3. Damit haben die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Dieser errechnet sich mit der obigen Formel zu s=13[5(21)−1(1−1)]s=\dfrac 1 3 \ntxbraceL{5\pmatrix {2\\ 1}-1\pmatrix {1\\ {-1}}} =13[(105)−(1−1)]=13(96)=(32)=\dfrac 1 3 \ntxbraceL{\pmatrix {{10}\\ 5}-\pmatrix {1\\{-1}} }=\dfrac 1 3 \pmatrix {9\\ 6} = \pmatrix {3\\ 2}.
Damit scheiden sich die beiden Geraden im Punkt mit den Koordinaten xS=3x_S=3 und yS=2y_S=2.

Normalform

Sind die beiden Geraden, deren Schnittpunkt berechnet werden soll in der Normalform als hgr(a,α)\hgerade(a,\alpha) und hgr(b,β)\hgerade(b,\beta) Dann gelten für den Schnittpunkt ss die beiden Gleichungen
⟨s,a⟩=α\spo s,a\spc=\alpha und ⟨s,b⟩=β\spo s,b\spc=\beta.
Damit ist αb⊥=⟨s,a⟩b⊥\alpha b\ortho=\spo s,a\spc b\ortho und βa⊥=⟨s,b⟩a⊥\beta a\ortho=\spo s,b\spc a\ortho und unter Benutzung von Satz 5324A: βa⊥−αb⊥=⟨s,b⟩a⊥−⟨s,a⟩b⊥=−⟨a⊥,b⟩s=⟨a,b⊥⟩s\beta a\ortho-\alpha b\ortho=\spo s,b\spc a\ortho-\spo s,a\spc b\ortho=-\spo a\ortho,b\spc s=\spo a,b\ortho\spc s. Damit ist die Bedingung für die Existenz eines eindeutigen Schnittpunktes wieder ⟨a,b⊥⟩≠0\spo a,b\ortho\spc\neq 0 und der Schnittpunkt ergibt sich als
s=1⟨a,b⊥⟩(βa⊥−αb⊥)s=\dfrac 1{\spo a,b\ortho\spc}(\beta a\ortho-\alpha b\ortho)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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