Normalform der ebenen Geradengleichung

Sei $\gerade(p,a)$ eine Gerade, dann gilt für einen beliebigen Punkt $c\in \gerade(p,a)$: $c=p+\alpha a$. Wir multiplizieren diese Gleichung skalar mit $a\ortho$, dem Orthokomplement von $a$. Es ergibt sich: $\spo c,a\ortho\spc = \spo p,a\ortho\spc+\alpha\spo a,a\ortho\spc$ und nach Anwendung von Satz 5309A: $\spo c,a\ortho\spc = \spo p,a\ortho\spc$. Dabei ist $\spo p,a\ortho\spc$ eine von konstante reelle Zahl und daher können wir eine Gerade auch in der Form

$\spo c,a\spc=\alpha$

schreiben, wobei $c\neq 0$ gilt und wir $a\ortho$ in $a$ umbenannt haben. Diese Darstellung heißt Normalform. Der die Gerade bestimmende Vektor $a$ heißt Normalenvektor oder Normale der Geraden. Formal führen wir die Bezeichnung $\hgerade(a,\alpha)$ für eine solcherart definierte Gerade ein mit

$\hgerade(a,\alpha):=\{c\in\dom{R^2}| \spo c,a\spc=\alpha\}$.

Die Geraden durch den Ursprung sind dadurch charakterisiert, dass bei ihnen $\alpha=0$ gilt.

Schreiben wir diese Gleichung koordinatenweise mit $c=\pmatrix{ x\\ y}$ und $a=\pmatrix{ a_x\\ a_y}$ ergibt sich $a_x x+a_y y=\alpha$. Die können wir für $a_y\neq 0$ zur aus der Analysis bekannten Gleichung für die lineare Funktion umstellen:

$y=-\dfrac {a_x}{a_y} \, x+\dfrac\alpha {a_y}$ .

Um die Normalform der Gerade $g=\pmatrix{ 1\\ 1}+\alpha \pmatrix{2\\ 1}$ zu ermitteln, berechnen wir $a\ortho=\pmatrix{{\uminus 1}\\ 2}$ und $\spo p,a\ortho\spc=1$. Die Normalform ergibt sich zu $\left\langle c,\pmatrix{{\uminus 1}\\ 2}\right\rangle=1$.