Umkehrsatz

Der Umkehrsatz beantwortet die Frage, unter welchen Bedingungen eine Funktion f:Rn→Rnf:\R^n\rightarrow \R^n umkehrbar ist und welche analytischen Eigenschaften dann die Umkehrfunktion f−1f^{-1} besitzt. Ist f(x)=Axf(x)=Ax, wobei AA eine Matrix aus Mat(n,R)\Mat(n,\R) ist, dann wissen wir, dass f(x)f(x) genau dann umkehrbar ist, wenn AA invertierbar ist, also det⁡A≠0\det A\neq 0 gilt. Dieses Ergebnis kann für beliebige Funktionen mit folgenden Modifikationen übernommen werden.
  • Wir verzichten auf die globale Umkehrbarkeit
  • An Stelle der Matrix AA tritt die Jacobimatrix

Satz 16KU (Satz von der inversen Funktion/ Umkehrsatz)

Sei f:D→Rnf:D\rightarrow\R^n mit D⊂RnD\subset\R^n offen, stetig differenzierbar und in ξ∈D\xi\in D sei die Jacobimatrix f′(ξ)f'(\xi) invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung U(ξ)⊂DU(\xi)\subset D von ξ\xi und eine ε\varepsilon-Umgebung von η=f(ξ)\eta=f(\xi), so dass f∣U:U→Uε(η)f|_U:U\rightarrow U_\varepsilon(\eta) bijektiv die Umgebung UU auf Uε(η)U_\varepsilon(\eta) abbildet. Die Umkehrung fU−1f_U^{-1} von f∣Uf|_U ist stetig differenzierbar und für die Ableitung gilt:
(f∣U−1)′(y)=f ′(x)−1(f|_U^{-1})'(y)=f\, '(x)^{\me} mit y=f(x) y=f(x) und x∈U x\in U
(f∣U−1)′(f(x))=f ′(x)−1(f|_U^{-1})'(f(x))=f\, '(x)^{\me} für x∈U x\in U

Beweis

Man definiert F:D×Rn→RnF:D\times\R^n\rightarrow\R^n als F(x,y):=f(x)−y=0 F(x,y):=f(x)-y=0.FF ist stetig differenzierbar, weil ff stetig differenzierbar ist, mit ∂F∂x(ξ,f(ξ))=f′(ξ)\dfrac{\partial F}{\partial x}(\xi,f(\xi))= f'(\xi) für F(ξ,η)=0F(\xi,\eta)=0 invertierbar. Nach Satz 16KT gibt es eine offene ε\varepsilon-Umgebung Uε(η)U_\varepsilon(\eta), eine offene δ\delta-Umgebung Uδ(ξ)U_\delta(\xi) und genau eine stetige Funktion φ:Uε(η)→Uδ(ξ)\varphi :U_\varepsilon(\eta)\rightarrow U_\delta(\xi) mit φ(η)=ξ\varphi(\eta) =\xi; F(φ(y),y)=f(φ(y))−y=0 F(\varphi(y),y)=f(\varphi(y))-y=0. Wegen (ii) aus Satz 16KT können wir uns Uε(η)U_\varepsilon(\eta) so klein gewählt denken, dass φ\varphi auf Uε(η)U_\varepsilon(\eta) sogar stetig differenzierbar ist. Ferner gilt, da f:D→Rnf:D\rightarrow\R^n stetig ist, dass f−1(Uε(η))f^{-1}(U_\varepsilon(\eta)) offen in Rn\R^n (Satz 16CG). Wir zeigen, dass für U:=Uδ(ξ)∩f−1(Uε(η))U:=U_\delta(\xi)\cap f^{\me}(U_\varepsilon(\eta))={x∈Uδ(ξ):f(x)∈Uε(η)} =\{x\in U_\delta (\xi):f(x)\in U_\varepsilon(\eta)\} (offen) gilt f(U)=Uε(η)f(U)=U_\varepsilon(\eta). Nach Satz 5212B ist f(U)=f(Uδ(ξ)∩f−1(Uε(η)))f(U)=f(U_\delta(\xi)\cap f^{\me}(U_\varepsilon(\eta))) ⊆f(Uδ(ξ))∩f(f−1(Uε(η))) \subseteq f(U_\delta(\xi)) \cap f(f^{\me}(U_\varepsilon(\eta))) ⊆f(f−1(Uε(η)))\subseteq f(f^{\me}(U_\varepsilon(\eta))) ⊆Uε(η) \subseteq U_\varepsilon(\eta).
Sei y∈Uε(η)y\in U_\varepsilon(\eta). Dann gilt: φ(y)∈Uδ(ξ)\varphi(y)\in U_\delta(\xi) und f(φ(y))=y∈Uε(η)f(\varphi(y))=y\in U_\varepsilon(\eta). Also φ(y)∈Uδ(ξ)∩f−1(Uε(η))=U\varphi(y)\in U_\delta(\xi)\cap f^{-1}(U_\varepsilon(\eta))=U, womit f(U)=Bε(η)f(U)= B_\varepsilon(\eta) gezeigt ist und ff also surjektiv ist. Injektivität: Seien x1,x2∈Ux_1,x_2\in U mit f(x1)=f(x2)=y f(x_1)=f(x_2)=y⇒F(x1,y)=F(x2,y)=0 \Rightarrow F(x_1,y)= F(x_2,y)=0 ⇒x1=x2{\Rightarrow} x_1=x_2. (nach Satz 16KT)
Damit ist f∣U:u→Uε(η)f|_U:u\rightarrow U_\varepsilon(\eta) von UU auf Uε(η)U_\varepsilon(\eta) bijektiv und φ=f∣u−1\varphi=f|_u^{-1} ist die stetig differenzierbare Umkehrabbildung von f∣Uf|_U. Die Formel (f∣U−1)′(f(x))=f ′(x)−1(f|_U^{-1})' (f(x))=f\, '(x)^{-1} folgt mit der Kettenregel: φ=f∣U−1\varphi=f|_U^{-1}, φ(f(x))=x \varphi(f(x))=x, φ′(f(x))=I \varphi'(f(x))=I ⇒(f∣U−1)′(f(x))=φ′(f(x))f′(x)=If′(x)−1 \Rightarrow (f|_U^{-1})'(f(x))=\varphi'(f(x))f'(x)=If'(x)^{-1} □\qed

Bemerkung

Der Umkehrsatz ist eine "lokale" Aussage. Sogar die Existenz der Umkehrfunktion f(x)−1 f(x)^{-1} einer stetig differenzierbaren Funktion f:Rn⊃D→Rn,f:\Rn \supset D\rightarrow\R^n, in allen Punkten des Definitionsbereichs DD ist nicht hinreichend für die Existenz einer "globalen" Inversen auf ganz DD

Beispiel

f:R2→R2f:\R^2\rightarrow\R^2 mit f(x,y)=(excos⁡yexsin⁡y) f(x,y)=\begin{pmatrix} e^x\cos y\\e^x\sin y \end{pmatrix}. ff ist auf R2\R^2 stetig differenzierbar. f′(x,y)=(excos⁡y−exsin⁡yexsin⁡yexcos⁡y)f'(x,y)=\begin{pmatrix} e^x \cos y & -e^x \sin y\\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{pmatrix} hat auf ganz R\R eine von Null verschiedene Determinante (e⁡x\e^x) und es gilt f′(x,y)−1=(e−xcos⁡ye−xsin⁡y−e−xsin⁡ye−xcos⁡y) f'(x,y)^{-1}=\begin{pmatrix} e^{-x} \cos y & e^{-x}\sin y\\ -e^{-x}\sin y & e^{-x}\cos y \end{pmatrix}. Dennoch ist ff nicht global invertierbar auf R2\R^2, da ff in yy periodisch ist: f(x,y)=f(x,y+2kπ)f(x,y)=f(x,y+2k\pi) mit k∈Zk\in\Z.

Satz 16KV

Sei f:D→Rnf:D\rightarrow\R^n mit D⊂RnD\subset\R^n offen, stetig differenzierbar und es existiere f ′(x)−1f\, '(x)^{-1} für jedes x∈Dx\in D. Dann gilt:
  1. ff ist eine offene Abbildung, d.h. das Bild jeder offenen Teilmenge von DD ist offen im Rn\R^n.
  2. Die Funktion φ:D→R,φ(x):=∣∣f(x)∣∣\varphi:D\rightarrow\R, \varphi(x):=||f(x)||, besitzt kein Maximum. Falls f(x)≠0f(x)\neq 0 in DD besitzt ff auch kein Minimum auf DD.
  3. Ist ff injektiv, so ist f−1:f(D)→Rf^{-1}:f(D)\rightarrow\R ebenfalls stetig differenzierbar.

Beweis

(i) Sei A⊂DA\subset D offen in DD, also auch offen in Rn\R^n. Sei AA nicht leer (andernfalls A=∅⇒f(A)=∅A=\emptyset\Rightarrow f(A)=\emptyset ist offen). Sei y∈f(A)y\in f(A) und x∈Ax\in A mit f(x)=y f(x)=y. Da f ′(x)f\, '(x) invertierbar ist, folgt nach dem Umkehrsatz, dass eine offene Umgebung U⊂AU\subset A existiert mit x∈Ux\in U und f(U)⊂f(A)f(U)\subset f(A) offen, d.h. f(A)f(A) ist offen.
(ii) Angenommen x0∈Dx_0\in D sei ein Maximum von φ\varphi, d.h. ∀x∈D:∣∣f(x)∣∣≤∣∣f(x0)∣∣\forall x\in D:||f(x)||\leq ||f(x_0)||. Dann ist f(x0)>0f(x_0)>0. Denn wäre f(x0)=0f(x_0)=0, dann wäre f=0f=0 auf DD und f ′f\, ' wäre auf DD nirgends invertierbar. Nach dem Umkehrsatz existiert ein ϵ>0\epsilon>0: Uε(f(x0))⊂f(D)U_\varepsilon(f(x_0))\subset f(D). Insbesondere gilt für ρ=ε2∣∣f(x0)∣∣\rho=\dfrac{\varepsilon}{2||f(x_0)||}, dass es ein x1∈Dx_1 \in D gibt mit y1=f(x1)=f(x0)+ρf(x0) y_1=f(x_1)=f(x_0)+\rho f(x_0)=(1+ρ)f(x0) =(1+\rho)f(x_0). Denn ∣∣y1−f(x0)∣∣=ρ∣∣f(x0)∣∣=ε2<ε||y_1-f(x_0)||=\rho||f(x_0)||=\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon. Somit gilt ∣∣f(x1)∣∣=(1+ρ)∣∣f(x0)∣∣>∣∣f(x0)∣∣||f(x_1)||=(1+\rho)||f(x_0)||>||f(x_0)|| Widerspruch.
(iii) f(D)f(D) ist nach (i) offen. Nach dem Umkehrsatz und da ff injektiv ist, folgt f−1:f(D)→Rnf^{-1}:f(D)\rightarrow\R^n ist stetig differenzierbar. □\qed
 
 

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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