Eigenschaften des Gradienten

Sei $f:D\rightarrow\R$ eine Funktion mehrerer Veränderlicher und $D\subset\R^n$ offen, $f$ in $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt: Ist $\grad f(x)=0$, so verschwinden alle Richtungsableitungen in $x$. Ist $\grad f(x)\neq 0$ , so gibt es unter allen Richtungsableitungen $\dfrac{\partial f}{\partial h}(x)$ mit $||h||_2 =1$ eine größte, nämlich die des Gradienten $\grad f(x)$ mit $\dfrac{\partial f}{\partial h}(x)=||\grad f(x)||_2$.

$\dfrac{\partial f}{\partial h}(x)=(\grad f(x))h$ (Satz 165X) $\left|\dfrac{\partial f}{\partial h}(x)\right|$ $= \left|\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i\right|$ $\leq \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\right|^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |h_i|^2}$ (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) $= ||\grad f(x)||_2||h||_2$$= ||\grad f(x)||_2$ für $||h||_2=1$. Damit ist jede Richtungsableitung kleiner als diejenige in Richtung des Gradienten, und in dieser Richtung $h_0:=\dfrac{\grad f(x)}{||\grad f(x)||_2}$ gilt: $\dfrac{\partial f}{\partial h_0}$$=(\grad f(x))h_0$$=\left(\grad f(x)\right) \left(\dfrac{\grad f(x)}{||\grad f(x)||_2}\right)$$= \dfrac{||\grad f(x)||_2^2}{||\grad f(x)||_2}$$=||\grad f(x)||_2$ Da die Richtungsableitungen stets kleiner als der Gradient sind, gilt außerdem die Behauptung aus dem ersten Teil des Satzes. $\qed$

Der Vektor $\uminus \grad f$ liefert die kleinste Richtungsableitung. Vektoren, die senkrecht auf dem Gradienten stehen, haben die Richtungsableitung $0$ (Wegen $f\, '(a)\cdot v=0$ und Satz 165X)

Sei $f:D\subset\R^n\rightarrow \R$ differenzierbar, dann gilt $f(a+h)=f'(a)h+r(h)$ mit $\dfrac{r(h)}{||h||}\, \rightarrow 0$

Für "kleine" $h$ , d.h. $||h||\approx 0$, ist eine Näherung für $f(a+h)$ die Formel In Komponenten: Damit wird der Unterschied $f(a+h)-f(a)$ für "kleine" $h$ durch den Ausdruck $\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(a)h_1+\cdots+\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(a)h_n=f'(a)h$ annähernd gegeben. Auf dieser Formel beruht die Fehlerrechnung. Für kleine $t\in\R$ und $h\in\R$ mit $||h||_2=1$ wird der Unterschied $f(a+th)-f(a)\approx (\grad f(x))th$ am grössten für $h=\dfrac{\grad f(a)}{||\grad f(a)||_2}$ , d.h. die Richtung des Gradienten.