Gradient und Totale Ableitung

Sei f:RnRf:\Rn\to\R eine Funktion mehrerer Veränderlicher, deren sämtliche partielle Ableitungen fxk\dfrac {\partial f}{\partial x_k} für xk=1nx_k=1\dots n existieren. Der von diesen partiellen Ableitungen gebildete Vektor (fx1,fx2,,fxn)\braceNT{\dfrac {\partial f}{\partial x_1},\, \dfrac {\partial f}{\partial x_2},\dots, \dfrac {\partial f}{\partial x_n}} heißt der Gradient von ff und man schreibt gradf\grad f.
Zwischen Gradienten und totaler Ableitung besteht ein einfacher Zusammenhang.

Satz 165W (Gradient und Totale Ableitung)

Sei f:RnRf:\Rn\to\R total ableitbar im Punkt aRna\in\Rn mit f(a)=(c1,,cn)f\, '(a)=(c_1,\dots,c_n). Dann ist ff für i=1ni=1\dots n auch partiell differenzierbar und es gilt:
fxk(a)=ck\dfrac {\partial f}{\partial x_k} (a)=c_k
Für eine total ableitbare Funktion ist der Gradient damit nur eine andere Bezeichnung für die totale Ableitung.

Beweis

ff ist in aa total ableitbar, also
limh0f(a+h)f(a)(c1h1++cnhn)h=0\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)-(c_1\cdot h_1+\dots+c_n\cdot h_n)} {||h||} =0(1)
Wir betrachten nun speziell h=(0,,hk,,0)h=(0,\dots,h_k,\dots,0) womit (1) zu
limhk0f(a1,,ak1,ak+hk,ak+1,,an)f(a1,,an)ckhkhk=0\lim_{h_k\to 0}\dfrac{f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+h_k,a_{k+1},\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_n)-c_k\cdot h_k} {h_k} =0
wird.
    limhk0f(a1,,ak1,ak+hk,ak+1,,an)f(a1,,an)hk\implies \lim_{h_k\to 0}\dfrac{f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+h_k,a_{k+1},\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_n)} {h_k} ck=0-c_k =0
    limhk0f(a1,,ak1,ak+hk,ak+1,,an)f(a1,,an)hk=ck\implies \lim_{h_k\to 0}\dfrac{f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+h_k,a_{k+1},\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_n)} {h_k}=c_k
Setzen wir nun xk=ak+hkx_k=a_k+h_k, so erhalten wir auf der linken Seite genau den Ausdruck für die partielle Ableitung fxk(a)\dfrac {\partial f}{\partial x_k} (a). \qed
Satz 165W kann zu folgender Behauptung verschärft werden:

Satz 165X (Gradient und Richtungsableitungen)

Sei f:RnRf:\Rn\to\R total ableitbar im Punkt aRna\in\Rn mit f(a)=(c1,,cn)f\, '(a)=(c_1,\dots,c_n). Dann ist ff in jeder Richtung vv mit v=1||v||=1 ableitbar und es ist
fv(a)=f(a)v\dfrac {\partial f}{\partial v} (a)=f\, '(a)\cdot v.
Dabei ist f(a)v:=i=1nfxiaif\, '(a)\cdot v:=\sum\limits_{i=1}^n \dfrac {\partial f}{\partial x_i}\, a_i das Skalarprodukt (andere Schreibweise f(a),v\spo f\, '(a), v\spc).

Beweisidee

Man setze h=tvh=t\cdot v und betrachte den Grenzwert für t0t\to 0. \qed
Nach Satz 165W ist eine total differenzierbare Funktion auch partiell differenzierbar. Unter gewissen Voraussetzungen gilt auch die Umkehrung:
 
 

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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