Gradient und Totale Ableitung

Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R eine Funktion mehrerer Veränderlicher, deren sämtliche partielle Ableitungen ∂f∂xk\dfrac {\partial f}{\partial x_k} für xk=1…nx_k=1\dots n existieren. Der von diesen partiellen Ableitungen gebildete Vektor (∂f∂x1, ∂f∂x2,…,∂f∂xn)\braceNT{\dfrac {\partial f}{\partial x_1},\, \dfrac {\partial f}{\partial x_2},\dots, \dfrac {\partial f}{\partial x_n}} heißt der Gradient von ff und man schreibt grad⁡f\grad f.
Zwischen Gradienten und totaler Ableitung besteht ein einfacher Zusammenhang.

Satz 165W (Gradient und Totale Ableitung)

Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R total ableitbar im Punkt a∈Rna\in\Rn mit f ′(a)=(c1,…,cn)f\, '(a)=(c_1,\dots,c_n). Dann ist ff für i=1…ni=1\dots n auch partiell differenzierbar und es gilt:
∂f∂xk(a)=ck\dfrac {\partial f}{\partial x_k} (a)=c_k
Für eine total ableitbare Funktion ist der Gradient damit nur eine andere Bezeichnung für die totale Ableitung.

Beweis

ff ist in aa total ableitbar, also
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)−(c1⋅h1+⋯+cn⋅hn)∣∣h∣∣=0\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)-(c_1\cdot h_1+\dots+c_n\cdot h_n)} {||h||} =0(1)
Wir betrachten nun speziell h=(0,…,hk,…,0)h=(0,\dots,h_k,\dots,0) womit (1) zu
lim⁡hk→0f(a1,…,ak−1,ak+hk,ak+1,…,an)−f(a1,…,an)−ck⋅hkhk=0\lim_{h_k\to 0}\dfrac{f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+h_k,a_{k+1},\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_n)-c_k\cdot h_k} {h_k} =0
wird.
  ⟹  lim⁡hk→0f(a1,…,ak−1,ak+hk,ak+1,…,an)−f(a1,…,an)hk\implies \lim_{h_k\to 0}\dfrac{f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+h_k,a_{k+1},\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_n)} {h_k} −ck=0-c_k =0
  ⟹  lim⁡hk→0f(a1,…,ak−1,ak+hk,ak+1,…,an)−f(a1,…,an)hk=ck\implies \lim_{h_k\to 0}\dfrac{f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+h_k,a_{k+1},\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_n)} {h_k}=c_k
Setzen wir nun xk=ak+hkx_k=a_k+h_k, so erhalten wir auf der linken Seite genau den Ausdruck für die partielle Ableitung ∂f∂xk(a)\dfrac {\partial f}{\partial x_k} (a). □\qed
Satz 165W kann zu folgender Behauptung verschärft werden:

Satz 165X (Gradient und Richtungsableitungen)

Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R total ableitbar im Punkt a∈Rna\in\Rn mit f ′(a)=(c1,…,cn)f\, '(a)=(c_1,\dots,c_n). Dann ist ff in jeder Richtung vv mit ∣∣v∣∣=1||v||=1 ableitbar und es ist
∂f∂v(a)=f ′(a)⋅v\dfrac {\partial f}{\partial v} (a)=f\, '(a)\cdot v.
Dabei ist f ′(a)⋅v:=∑i=1n∂f∂xi aif\, '(a)\cdot v:=\sum\limits_{i=1}^n \dfrac {\partial f}{\partial x_i}\, a_i das Skalarprodukt (andere Schreibweise ⟨f ′(a),v⟩\spo f\, '(a), v\spc).

Beweisidee

Man setze h=t⋅vh=t\cdot v und betrachte den Grenzwert für t→0t\to 0. □\qed
Nach Satz 165W ist eine total differenzierbare Funktion auch partiell differenzierbar. Unter gewissen Voraussetzungen gilt auch die Umkehrung:
 
 

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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