Unendliche Perioden

Beispiel 164Y (0,9999... =1)

Unendlich periodische Dezimalbrüche mit der 99 ergeben keine neuen Zahlen. An obiger Behauptung demonstrieren wir dies exemplarisch:
Sei
x=0,9999…x=0,9999\ldots,
dann gilt
10x=9,9999…10x=9,9999\ldots.
Subtrahieren wir beide Gleichungen, erhalten wir
9x=99x=9,
also
x=1x=1,
womit die behauptete Gleichheit gezeigt ist.
Man kann die Zahl x=0,9999…x=0,9999\ldots auch als Grenzwert der unendlichen Reihe
0,9+0,09+0,009+…=∑k=1∞ 910k0,9+0,09+0,009+\ldots=\sum\limits_{k=1}^\infty \, \dfrac 9 {10^k}
auffassen. Dabei handelt es sich um eine geometrische Reihe und nach Beispiel 5409C ist der Grenzwert dieser Reihe 1.
 
 

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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