Verteilung rationaler und irrationaler Zahlen

Es gibt sowohl unendlich viele rationale Zahlen als auch unendlich viele irrationale Zahlen. Wobei sich beide Arten der Unendlichkeit qualitativ unterscheiden. Die rationalen Zahlen sind abzählbar (Satz 15XC), wohingegen die irrationalen Zahlen überabzählbar sind (Folgerung 16HR). Es gibt also unendlich viel mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen. Nun könnte man annehmen, dass auf der Zahlengeraden auf eine rationale Zahl viele irrationale Zahlen kommen, die rationalen Zahl also relativ dünn auf der Zahlengeraden verteilt sind. Dem ist nicht so. Beide Mengen liegen relativ dicht zueinander.
 
 

Satz 16HU (Dichtheit rationaler und irrationaler Zahlen)

  1. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine rationale sowie eine irrationale Zahl
  2. Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt stets eine rationale sowie eine irrationale Zahl
Da man in beiden Fällen eine Intervallschachtelung vornehmen kann, liegen zwischen zwei rationalen (irrationalen) Zahlen unendlich viele rationale (irrationale) Zahlen.

Beweis

Nach Satz 5224A liegen zwischen zwei (ir)rationalen Zahlen stets zwei rationale Zahlen.
Alle reellen Zahlen im Intervall \(\displaystyle [a,b]\) sind überabzählbar (vgl. Beweis von Satz 15XD). Die rationalen Zahlen in diesem Intervall sind abzählbar. Daher muss es überabzählbar unendlich viele irrationale Zahlen im Intervall \(\displaystyle [a,b]\) geben. \(\displaystyle \qed\)

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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