Irrationalitätsbeweise

In Beispiel 5225H wurde gezeigt, dass p\sqrt p für jede Primzahl pp irrational ist. Um ein allgemeineres Kriterium der Irrationalität von Wurzelausdrücken zu erhalten, untersuchen wir Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten

Sei
P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 (1)
ein Polynom nn-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten (ak∈Za_k\in\Z; an≠0a_n\neq 0). Für seine Wurzeln gilt.

Satz 16HW

Sei der gekürzte Bruch pq\dfrac p q Wurzel des Polynoms (1). Dann gilt: p∣a0p|a_0 und q∣anq|a_n.

Beweis

Nach Voraussetzung sind pp und qq teilerfremd und es gilt P(pq)=an(pq)n+an−1(pq)n−1+⋯+a1pq+a0=0P\left(\dfrac p q\right)=a_n\left(\dfrac p q\right)^n+a_{n-1}\left(\dfrac p q\right)^{n-1}+\dots+a_1\dfrac p q+a_0=0 und nach Multiplikation mit qnq^n gilt
anpn+an−1qpn−1+⋯+a1qn−1p+a0qn=0a_np^n+a_{n-1}qp^{n-1}+\dots+a_1q^{n-1}p+a_0q^n=0,(2)
und daher
an−1qpn−1+⋯+a1qn−1p+a0qna_{n-1}qp^{n-1}+\dots+a_1q^{n-1}p+a_0q^n =q(an−1pn−1+⋯+a1qn−2p+a0qn−1)=q(a_{n-1}p^{n-1}+\dots+a_1q^{n-2}p+a_0q^{n-1}) =−anpn =-a_np^n.
Also teilt qq das Produkt anpna_np^n und da pp und qq teilerfremd sind, gilt q∣anq|a_n.
Schreibt man (2) in der Form
p(anpn−1+an−1qpn−2+⋯+a1qn−1)=−a0qnp(a_np^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\dots+a_1q^{n-1})=-a_0q^n,
so schließt man analog, dass p∣a0p|a_0. □\qed

Folgerung

Die Wurzeln des Polynom xn−a=0x^n-a=0 sind für n>1n>1 und aa prim stets irrational.
Damit sind wie in Beispiel 5225H auf anderem Weg gezeigt 2\sqrt 2, 3\sqrt 3, 5\sqrt 5 usw. irrational.

Beweis

Sei der gekürzte Bruch pq\dfrac p q Lösung von xn−a=0x^n-a=0, dann ist q∣1q|1, also q=±1q=\pm1 und p∣ap|a, also p=ap=a oder p=1p=1. Beide Möglichkeiten sind keine Lösungen der Gleichung, daher existieren keine rationalen Lösungen. □\qed

Satz 16HW liefert ein Kriterium, um auch bei vielen anderen Wurzelausdrücken zu entscheiden ob sie irrational sind.

Beispiel

63\sqrt [3] 6 ist irrational. Denn q=±1q=\pm 1 und p=1;2;3;6p=1;2;3;6 liefert für keine Kombination eine Lösung von x3−6=0x^3-6=0.
 
 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Zahlenbereiche