Irrationalität der eulerschen Zahl e

Der Nachweis der Irrationalität der eulerschen Zahl

\e

ist verglichen mit dem Beweis ihrer Transzendenz (siehe Beweis 16HX) relativ einfach.

Satz 16HY (Irrationalität der eulerschen Zahl)

\e

Ausgehend von der Reihenentwicklung von

e

e=1+\dfrac 1{1!}+\dfrac 1{2!}+\dfrac 1{3!}+\ldots

=\sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac 1{k!}

nimmt man an

e

sei rational, also

e=\dfrac p q

, wobei oBdA.

q>1

Dann ist

e=1+\dfrac 1{1!}+\dfrac 1{2!}+\dots

+\dfrac 1{q!}+\dfrac 1{(q+1)!}+\dfrac 1{(q+2)!}+\ldots

\implies q!\left(e-1-\dfrac 1{1!}-\dfrac 1{2!}-\dots-\dfrac 1{q!}\right)

=q!\left(\dfrac 1{(q+1)!}+\dfrac 1{(q+2)!}+\ldots \right)

Auf der linken Seite steht eine ganze Zahl größer als Null. Die rechte Seite schätzt man ab

q!\left(\dfrac 1{(q+1)!}+\dfrac 1{(q+2)!}+\ldots\right)

=\dfrac 1 {q+1}+\dfrac 1{(q+1)(q+2)}+\dots

<\dfrac 1 {2^1} +\dfrac 1 {2^2}+\dfrac 1 {2^3}+\dots=1

(geometrische Reihe Beispiel 5409C) und erhält eine ganze Zahl kleiner Eins. Widerspruch. Daher kann

e

nicht rational sein.

\qed

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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