Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen Z\dom Z - als Teilmenge der reellen Zahlen betrachtet - sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Wir nehmen mit den natürlichen Zahlen noch ihre negativen hinzu:
Z=N∪{−n∣ n∈N}\dom Z=\dom N \cup \{ \uminus n | \, n\in \dom N\}.
Im Bereich der ganzen Zahlen sind die Addition und Subtraktion uneingeschränkt ausführbar.
Sie bilden eine Ring.

Satz 5729A

Für jede Teilmenge der ganzen Zahlen, deren Infimum (Supremum) existiert ist es auch Minimum (Maximum).
 
 

Beweis

Sei M⊆ZM\subseteq \domZ und m=inf⁡Mm=\inf M. Wir nehmen an, mm ist nicht Minimum von MM, also m∉Mm\notin M. Dann gilt aber m<am<a für beliebiges a∈Ma\in M und auch m+1≤am+1\leq a. Dann wäre aber m+1m+1 eine größere untere Schranke als mm im Widerspruch dazu, dass mm Infimum war.
Der Beweis wird analog für Supremum/Maximum geführt. □\qed

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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