Das Extensionalitätsaxiom

Zweck des Extensionalitätsaxiom ist es eine Verbindung zwischen der Gleichheit von Mengen und der Elementbeziehung herzustellen. Wir fordern, dass Mengen, welche die selben Elemente enthalten, gleich sein sollen. Daraus wird sich ergeben, dass gleiche Mengen auch umfangsgleich sind, also die selben Elemente enthalten.

ExtZF

\(\displaystyle \forall x (x \in a \iff x \in b ) \implies a = b\).
Es gilt damit auch die Äquivalenz: \(\displaystyle \forall x (x \in a \iff x \in b ) \iff a = b\). (Denn falls \(\displaystyle a=b\) und \(\displaystyle \not\forall x (x \in a \iff x \in b ) \), gilt \(\displaystyle a=a\) und \(\displaystyle \not\forall x (x \in a \iff x \in a ) \) \(\displaystyle =F\), da \(\displaystyle x \in a \iff x \in a\) eine Tautologie ist.)
Das Extensionalitätsaxiom stellt sicher, dass Gleichheit und Umfangsgleichheit von Mengen äquivalent sind.
Alternativ wäre also ein Aufbau der Mengenlehre mittels der Elementbeziehung und der Definition der Gleichheit durch \(\displaystyle a=b \eqdef\forall x (x \in a \iff x \in b ) \) möglich.
 
 

Definitionen

Wir können die Grundprädikate \(\displaystyle \in\) und \(\displaystyle =\) auf Klassen erweitern.

Gleichheit von Klassen

Wir benutzen die Umfangsgleichheit um die Gleichheit von Klassen und Mengen untereinander zu definieren.
\(\displaystyle a = B \,\eqdef\, \forall x (x \in a \lequi x \in B )\) und \(\displaystyle A = b \,\eqdef\, \forall x (x \in A \lequi x \in b )\), also \(\displaystyle a=B\lequi B=a\).
\(\displaystyle A = B \,\eqdef\, \forall x (x \in A \lequi x \in B )\).

Elementbeziehung für Klassen

\(\displaystyle A\in B\,\eqdef\, \exists y(y=A \and y\in B)\) und \(\displaystyle A\in b\,\eqdef\, \exists y(y=A \and y\in b)\)
Die verbleibende Möglichkeit \(\displaystyle a\in B\), muss nicht definiert werden, denn sie ist schon Bestandteil der ZF-Sprache. (Falls \(\displaystyle B=\{x | \phi(x,\dots)\}\),dann ist \(\displaystyle a\in B\) ist eine Abkürzung für \(\displaystyle a\in\{x | \phi(x,\dots)\} \).)

Allklasse

Mit \(\displaystyle \mathrm{Mg}(A)\) wollen wir die Eigenschaft einer Klasse beschreiben, eine Menge zu sein, also:
\(\displaystyle \mathrm{Mg}(A) \lequi \exists x(x=A)\).
Mit \(\displaystyle \mathrm{U} \) bezeichnen wir die Klasse aller Mengen (Allklasse, Universum):
\(\displaystyle \mathrm{U}\eqdef \{x|x=x\}\).
Mit diesen beiden Definitionen gilt: \(\displaystyle \mathrm{Mg}(A)\lequi A\in\mathrm{U}\).
(\(\displaystyle \mathrm{Mg}(A)\) \(\displaystyle \lequi\exists y(y=A)\) \(\displaystyle \lequi\exists y(y=A) \and \exists y(y\in \{x|x=x\})\) \(\displaystyle \lequi \exists y(y=A \and y\in \{x|x=x\})\) \(\displaystyle \lequi A\in \{x|x=x\}\) \(\displaystyle \lequi A\in \mathrm{U}\))

Leere Klasse

Die leere Klasse \(\displaystyle \OO\), soll diejenige Klasse sein, die keine Elemente enthält. Nur mit dem Extensionalitätsaxiom können wir weder zeigen, dass sie existiert, noch, dass es sich um eine Menge handelt.
\(\displaystyle \OO\eqdef\{x|x\neq x\}\).
Es gilt \(\displaystyle \forall x (x\notin \OO)\) (wegen \(\displaystyle \lequi \forall x \not(x\in\{y|y\neq y\})\) \(\displaystyle \lequi \forall x \not (x\neq x)\) \(\displaystyle \lequi \forall x(x=x)\)).

Satz BBAC

Aus KeZF und ExtZF folgt:Es gibt höchstens eine leere Klasse.

Beweis

Sei \(\displaystyle \OO'\) eine weitere Klasse ohne Elemente, für die also gilt \(\displaystyle \forall x (x\notin \OO')\). Wir zeigen, dass dann \(\displaystyle \OO=\OO'\) gilt.Für beliebiges \(\displaystyle x\) gilt \(\displaystyle x\notin \OO \and x\notin \OO'\) \(\displaystyle \implies (x\notin \OO \lequi x\notin \OO')\) \(\displaystyle \lequi (x\in \OO \lequi x\in \OO')\)
\(\displaystyle \implies \OO=\OO'\). (ExtZF) \(\displaystyle \qed\)
Bis auf die leere Klasse ist ZF frei von Urelementen. (Urelemente sind in der Elemente, die selbst keine Elemente enthalten.) Möchte man eine Mengenlehre mit Urelementen konstruieren, kann man das Extensionalitätsaxiom in dieser Form nicht verwenden.

Satz BB9F

Aus KeZF und ExtZF folgt:
Jede Menge ist eine Klasse.

Beweis

Sei \(\displaystyle a\) eine Menge, wir zeigen, dass \(\displaystyle a=\{x| x\in a\}\) gilt. Damit können wir jeder Menge durch einem Klassenterm über ihre Elemente beschreiben.
\(\displaystyle a=\{x| x\in a\}\) \(\displaystyle \lequi \forall y(y\in a \lequi y\in \{x| x\in a\})\)\(\displaystyle \lequi \forall y(y\in a \lequi y\in a)\) \(\displaystyle \lequi \mathrm{T}\) (KeZF)\(\displaystyle \qed\)

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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