Klassenoperationen

Die aus der naiven Mengenlehre bekannten Operationen, können auf natürliche Weise auf Klassen übertragen werden. Die Beweis kann man wie in der naiven Mengenlehre auf aussagenlogische Identitäten zurückgeführen. Gleichheiten werden durch das Extensionalitätsaxiom aufgeklärt und Klassenterme durch das Klassenersetzungsaxiom.

Definitionen

Alle Operationen sind für Klassen definiert, da nach Satz BB9F alle Mengen auch Klassen sind, ergibt sich daraus eine Definition für Mengen.

Teilmengenbeziehung/ Inklusion

A⊆B := ∀x:x∈A  ⟹  x∈BA\subseteq B \,\eqdef\,\forall x: x\in A \follows x\in B
Die echte Inklusion: A⊂B := A⊆B∧A≠BA\subset B \,\eqdef\, A\subseteq B \and A\neq B.
Jede Klasse umfasst die leere Klasse und ist Teilklasse der Allklasse: ∅⊆A⊆U\OO\subseteq A \subseteq U

Durchschnitt und Vereinigung

A∩B := {x∣ x∈A∧x∈B}A \cap B \,\eqdef\,\{x|\, x\in A \and x\in B\} Durchschnitt A∪B := {x∣ x∈A∨x∈B}A \cup B \,\eqdef\,\{x|\, x\in A \or x\in B\} Vereinigung

Differenz und Komplement

A∖B := {x∣ x∈A∧x∈B}A \setminus B \,\eqdef\,\{x|\, x\in A \and x\in B\} Differenz oder relatives Komplement Ac := {x∣ x∉A}A^c \,\eqdef\,\{x|\, x\notin A \} Komplement
Neben den Sätzen aus der naiven Mengenlehre gilt außerdem:
∅c=U\OO^c=U und Uc=∅U^c=\OO

Sätze

Für die Eigenschaften der Klassenoperationen sei auf folgende Sätze der naiven Mengenlehre verwiesen:
 
 

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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