Elementare Mengenbildung

Das Extensionalitätsaxiom und das Klassenersetzungsaxiom erlauben uns keine Aussagen über die Existenz konkreter Mengen. Wir können so weder zeigen, dass die leere Klasse $\OO$ eine Menge ist, noch dass z.B. $\{\OO,\{\OO\}\}$ eine Menge ist.

Dafür benötigt wir die beiden folgenden Axiome.

(auch bekannt als Axiom von der leeren Menge)

mit der Definition der leeren Klasse, ExtZF und KeZF: $\exists y \forall x ( x \notin y )$ $\lequi \exists y \forall x ( x \in y \lequi x\ne x )$ $\lequi \exists y \forall x ( x \in y \lequi x\in\{z|z\ne z\} )$ $\lequi \exists y ( y =\{z|z\ne z\} )$ $\lequi \Mg(\{z|z\ne z\} )$ $\lequi \Mg(\OO)$. Die Kurzformulierung des Nullmengenaxiom lautet also

in Worten: Die leere Klasse ist eine Menge, nämlich die leere Menge, und mit Satz BBAC ist klar, dass es genau eine leere Menge in ZF gibt.
Nach dem Nullmengenaxiom gibt es in ZF wenigstens eine Menge (die leere Menge). Die Existenz weiterer Mengen, können wir daraus jedoch nicht ableiten. Das folgende Axiom gestattet es uns aus 2 Mengen jeweils neue Mengen zu bilden und wird dazu führen, dass in ZF unendliche viele Mengen existieren, was jedoch nicht bedeutet, dass eine Menge mit unendlich vielen Mengen existieren muss.

Zu zwei Mengen $a$ und $b$ existiert die Menge $\{a,b\}$.

Mit der folgenden Definition der Paarmenge oder des ungeordneten Paares

können wir das Paarmengenaxiom auch in der Form

schreiben. Ebenso können wir die Einermenge definieren

Ausgehend vom Nullmengenaxiom können wir mit dem Paarmengenaxiom die folgenden Mengen bilden. $\OO$, $\{\OO\}$, $\{\OO, \{\OO\}\}$, oder auch $\OO$, $\{\OO\}$, $\{\{\OO\}\}$, $\{\{\{\OO\}\}\}$, ...