Sprache und Formeln der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Als Grundlage für ZF dient die Prädikatenlogik mit Gleichheit ergänzt um ein Symbol für die Elementbeziehung "∈\in".

Sprachelemente

Variable für Mengen

Wir bezeichnen Mengen mit Kleinbuchstaben: a,b,c,…a, b, c, \dots, x,y,z,… x, y, z, \dots
Achtung: Üblicherweise werden Großbuchstaben verwendet. Diese benutzen wir zur Bezeichnung von Klassen.
 
 

Logische Symbole

Wir verwenden die aus der Aussagenlogik bekannten logischen Symbole:
≠\neq (Negation), ∧\and (Konjunktion, "und"), ∨\or (Disjunktion, "oder"),   ⟹  \implies (Implikation, "wenn ... dann"),   ⟺  \iff (genau dann ... wenn),
sowie die Quantoren der Prädikatenlogik
∀\forall (Allquantor, für alle), ∃\exists (Existenzquantor, es gibt).

Grundprädikate

ZF enthält genau zwei Prädikate:
  • die Gleichheit, ausgedrückt durch a=ba = b,
  • die Elementbeziehung, ausgedrückt durch a∈ba \in b
Wir schreiben auch b∋ab\ni a für a∈ba\in b.

Hilfssymbole

((,)) zur Klammerung. {\{,}\} und ∣| zur Definition von Klassentermen.

ZF-Formeln

Aus diesen Symbolen können beliebige Zeichenketten gebaut werden. Natürlich sollen nicht alle Möglichkeiten (wie z.B. ∈∀=y\in \forall = y) auch Formeln unserer ZF-Sprache sein. Die Formeln der Sprache ZF werden durch die (rekursive) Anwendung der folgenden Regeln erzeugt.
Im folgenden bezeichnen aa, bb, xx Mengenvariablen und φ\phi, ψ\psi ZF-Formeln.

For1ZF (Atomare Formeln)

a=ba=b und a∈ba\in b sind ZF-Formeln.

For2ZF (Aussagenlogische Formeln)

(¬φ)(\not \phi), (φ∧ψ)(\phi\and \psi), (φ∨ψ)(\phi\or \psi), (φ  ⟹  ψ)(\phi\implies\psi), (φ  ⟺  ψ)(\phi\iff \psi) sind ZF-Formeln.

For3ZF (Prädikatenlogische Formeln)

Die Variable xx sei in der ZF-Formel φ(a)\phi(a) nicht gebunden, dann sind ∀xφ(a)\forall x \phi(a) und ∃xφ(a)\exists x \phi(a) ZF-Formeln.

For4ZF (Klassenbildungsformeln)

Die Variable xx sei in der ZF-Formel φ(a,… )\phi(a,\dots) nicht gebunden, dann ist a∈{x∣φ(x,… )}a\in \{x | \phi(x,\dots)\} eine ZF-Formel.

Beispiele

a) x∈xx\in x ist eine ZF-Formel nach For1ZF. b) ∀xx∈x\forall x x\in x ist eine ZF-Formel nach For3ZF.
Obwohl eine gültige Formel in unserer ZF-Sprache, macht b) als gültige Aussage in ZF wenig Sinn, da wir sicher nicht wollen, dass alle Mengen sich selbst enthalten.

Bemerkungen

Es wird sich zeigen, dass For4ZF nicht zwingend notwendig ist, wenn wir unser Axiomensystem erweitern. Deswegen wollen wir die durch For1ZF, For2ZF und For3ZF gebildete Sprache die ZF-Sprache ohne Klassenbildung nennen und falls wir For4ZF zulassen von der vollen ZF-Sprache oder der ZF-Sprache mit Klassenbildung sprechen.
Wir lassen die Klammern aus Regel For2ZF weg, sofern die Lesbarkeit dadurch nicht eingeschränkt wird.
Wir benutzen folgende abkürzende Schreibweisen:
∀x∈a φ\forall x\in a \, \phi für ∀x(x∈a  ⟹  φ)\forall x (x\in a\implies\phi) ∃x∈a φ\exists x\in a \, \phi für ∃x(x∈a∧φ)\exists x (x\in a\and \phi)

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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