Polynomringe

Geht man von Polynomen in reellen Zahlen der Form
p(x)=∑i=0naixi=a0+a1x+a2x2+…+anxnp(x)=\sum\limits_{i=0}^n {a_ix^i}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n(1)
aus, so bilden alle diese Polynome einen Ring bezüglich der Addition und der gängigen Multiplikation.
Analog dazu kann man auch für einen beliebigen Ring einen Polynomring definieren.
Sei RR ein Ring. Dann betrachten wir alle endlichen Folgen (können auch als Tupel aufgefasst werden) der Form (a0,a1,a2,…)(a_0,a_1,a_2,\ldots) mit Elementen aus RR. Für diese Tupel definieren wir dann die Addition komponentenweise:
(a0,a1,a2,…)+(b0,b1,b2,…)(a_0,a_1,a_2,\ldots)+(b_0,b_1,b_2,\ldots):=(a0+b0,a1+b1,a2+b2,…) :=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots),
und die Multiplikation wird als Faltung definiert:
(a0,a1,a2,…)⋅(b0,b1,b2,…)(a_0,a_1,a_2,\ldots)\cdot (b_0,b_1,b_2,\ldots):=(a0⋅b0,a0⋅b1+a1⋅b0,…,cn,…) :=(a_0\cdot b_0,a_0\cdot b_1+a_1\cdot b_0,\ldots,c_n,\ldots).
wobei für die n-te Komponente gilt: cn:=∑k=0nak⋅bn−kc_n:=\sum\limits_{k=0}^na_k\cdot b_{n-k}
Die Gültigkeit der Ringaxiome ist schnell überprüft und basiert auf der Zurückführung auf die Ringeigenschaften von RR.
Der so definierte Ring heißt Polynomring über RR und wird mit R[X]R[X] bezeichnet. Das Nullelement ist dabei (0,0,0,…)(0,0,0,\ldots) und falls RR ein Ring mit Einselement ist besitzt ist (1,0,0,…)(1,0,0,\ldots) das Einselement in R[X]R[X].
Die Bezeichnung R[X]R[X] findet folgendermaßen ihre Rechtfertigung. Setzen wir X=(0,1,0,0,…)X=(0,1,0,0,\ldots). Dann ist X2=x⋅x=(0,0,1,0,…)X^2=x\cdot x=(0,0,1,0,\ldots) und allgemein ist XnX^n das Tupel, deren n-te Komponente 1 ist, und alle anderen Komponenten sind 0. Setzen wir nun noch X0=(1,0,0,…)X^0=(1,0,0,\ldots), so können wir die Elemente des Polynomrings in der gewohnten Art und Weise schreiben:
(a0,a1,a2,…,an,0,0,0…)=∑k=0nakXk(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,0,0,0\ldots)=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k(2)
Es besteht ein formaler Unterschied zwischen (1) und (2). In (1) sind die xx Variablen, die Werte annehmen können. In (2) handelt es sich bei den XX um endliche Folgen von Ringwerten. Die Form (1) kann aber für jeden Polynomring durch den Einsetzungshomomorphismus erreicht werden.
Die aka_k heißen Koeffizienten des Polynoms. Der höchste vorkommende von Null verschiedene Koeffizient ist der Leitkoeffizient. Er bestimmt den Grad des Polynoms. Ist ana_n der Leitkoeffizient, so ist das Polynom vom Grade nn.
Die Operationen sind in dieser Schreibweise so definiert, wie es von den reellen Polynomen bekannt ist:
∑k=0nakXk+∑k=0nbkXk=∑k=0n(ak+bk)Xk\sum\limits_{k=0}^na_kX^k+\sum\limits_{k=0}^nb_kX^k=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)X^k
∑k=0makXk⋅∑k=0nbkXk=∑k=0m+n(∑j=0kajbk−j)Xk\sum\limits_{k=0}^ma_kX^k\cdot\sum\limits_{k=0}^nb_kX^k=\sum\limits_{k=0}^{m+n}\braceNT{\sum\limits_{j=0}^k a_jb_{k-j}}X^k
 
 

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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