Divisionsalgebra

Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Abstrakte Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiele

Eine Divisionsalgebra DD ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra, in der zu jedem a∈Da\in D und zu jedem b∈D,b≠0b\in D, b\neq 0 genau ein x∈Dx\in D mit der Eigenschaft a=x⋅ba=x\cdot b existiert. (Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra.) Man fordert noch zur Vermeidung einer Trivialität, dass DD mindestens zwei Elemente enthält.
Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 von Milnor und Kervaire bewiesen.
Enthält die Divisionsalgebra die Zahl 1, so dass a∗1=1∗a=aa*1 = 1*a = a gilt, spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.
Die 4 reellen Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie)
Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt.
Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten e1e_1 und e2e_2, die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:
e1∗e1=e1e1∗e2=−e2e2∗e1=−e2e2∗e2=−e1 \begin{matrix} e_1 * e_1 &=& e_1\\ e_1 * e_2 &=& -e_2\\ e_2 * e_1 &=& -e_2\\ e_2 * e_2 &=& -e_1 \end{matrix}
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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