Divisionsalgebra

Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Abstrakte Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiele

Eine Divisionsalgebra \(\displaystyle D\) ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra, in der zu jedem \(\displaystyle a\in D\) und zu jedem \(\displaystyle b\in D, b\neq 0\) genau ein \(\displaystyle x\in D\) mit der Eigenschaft \(\displaystyle a=x\cdot b\) existiert. (Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra.) Man fordert noch zur Vermeidung einer Trivialität, dass \(\displaystyle D\) mindestens zwei Elemente enthält.
Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 von Milnor und Kervaire bewiesen.
Enthält die Divisionsalgebra die Zahl 1, so dass \(\displaystyle a*1 = 1*a = a\) gilt, spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.
Die 4 reellen Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie)
Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt.
Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten \(\displaystyle e_1\) und \(\displaystyle e_2\), die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:
\(\displaystyle \begin{matrix} e_1 * e_1 &=& e_1\\ e_1 * e_2 &=& -e_2\\ e_2 * e_1 &=& -e_2\\ e_2 * e_2 &=& -e_1 \end{matrix} \)
 
 

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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