Näherungsverfahren zur Berechnung der Wurzel

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören unter anderem das Intervallhalbierungsverfahren (Bisektionsverfahren und Beispiel 164X).
Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von \(\displaystyle \sqrtN{n}{x}\) ergibt sich, indem man mit dem Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion
\(\displaystyle y \mapsto y^n-x, \quad n \ge 1 \)
annähert.
  1. Man wähle einen (möglichst guten) Startwert \(\displaystyle y > 0\)
  2. Iteriere nach der Vorschrift
\(\displaystyle y \mapsto \dfrac{(n-1)y^n + x}{n \cdot y^{n-1}}\)
Für \(\displaystyle n = 2\) erhält man gerade das Heronverfahren.
Beispiel für eine Näherung für \(\displaystyle \sqrtN{3}{2}\) nach dem obigen Iterationsverfahren:
Die Iterationsvorschrift lautet mit \(\displaystyle x=2\) und \(\displaystyle n=3\)
\(\displaystyle y \mapsto \dfrac{2 \, y^3 + 2}{3 \, y^2}\).
Mit dem Startwert \(\displaystyle y = 2\) erhält man:
Startwert: 2,000000000000
Schritt 1: 1,500000000000
Schritt 2: 1,296296296296
Schritt 3: 1,260932224741
Schritt 4: 1,259921860565
Schritt 5: 1,259921049895
Schritt 6: 1,259921049894
 
 

Abschätzung einer Wurzel

Man kann, wie das Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung berechnen. Das lässt sich gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und wie die letzte Ziffer endet:
1 1
8 2
27 3
64 4
125 5
216 6
343 7
512 8
729 9
1.000 10
1.000 10
8.000 20
27.000 30
64.000 40
125.000 50
216.000 60
343.000 70
512.000 80
729.000 90
1.000.000 100
Beispiele:
  • Die dritte Wurzel von 103.823: Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, und demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
  • Die dritte Wurzel von 12.167: Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, und demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.
Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn man davon ausgehen kann, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Wurzel (Mathematik) aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе