Algebraische Kennzeichnung

Satz 160T (Algebraische Kennzeichnung der Verbände)

Sei (M,≤)(M,\leq) ein Verband. Mit ∧\vinf sei das Infimum und mit ∨\vsup das Supremum bezeichnet. Dann gilt für a,b,c∈Ma,b,c\in M:
  1. Assoziativität von Infimum und Supremum a∧(b∧c)=(a∧b)∧ca\vinf (b\vinf c)=(a\vinf b)\vinf c a∨(b∨c)=(a∨b)∨ca\vsup(b\vsup c)=(a\vsup b)\vsup c
  2. Kommutativität von Infimum und Supremum a∧b=b∧aa\vinf b=b\vinf a und a∨b=b∨aa\vsup b=b\vsup a
  3. Verschmelzungs- bzw. Absorptionsgesetze a∨(a∧b)=aa\vsup (a\vinf b)=a und a∧(a∨b)=aa\vinf (a\vsup b)=a
  4. Idempotenz von Infimum und Supremum a∧a=a∨a=aa\vinf a=a\vsup a=a
  5. a≤ba\leq b   ⟺  a∧b=a\iff a\vinf b=a   ⟺  a∨b=b\iff a\vsup b=b

Beweis

Wir benutzen - ohne stets explizit darauf hinzuweisen - Satz 160V.
(i) Wir führen den Beweis fürs Supremum, das Infimum erledigt sich mit analogen Schlüssen. Sei s=b∨cs=b\vsup c und t=a∨bt=a\vsup b. Zu zeigen ist dann: a∨s=t∨ca\vsup s=t\vsup c.
Es ist a∨s≥s=b∨c≥b,ca\vsup s\geq s=b\vsup c\geq b,c, und damit a∨s≥a∨b=ta\vsup s\geq a\vsup b=t. Wegen a∨s≥ca\vsup s\geq c gilt damit a∨s≥t∨ca\vsup s\geq t\vsup c. Analog erschließt man t∨c≥a∨st\vsup c\geq a\vsup s.
(ii) Trivial, da Infimum und Supremum für Mengen definiert sind, bei denen es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt.
(iii) Wir zeigen a∨(a∧b)=aa\vsup (a\vinf b)=a, die andere Beziehung ergibt sich durch analoge Schlussweisen. Trivialerweise ist a∨(a∧b)≥aa\vsup (a\vinf b)\geq a. Andererseits ist sowohl a∧b≤aa\vinf b\leq a als auch a≤aa\leq a. Daraus folgt sofort: a∨(a∧b)≤aa\vsup (a\vinf b)\leq a.
(iv) Zum Beweis brauchen wir nicht auf die Ordnungsstruktur zurückgreifen. Wir verwenden die Verschmelzungsgesetze. Diese ergeben mit a=ba=b: a∨(a∧a)=aa\vsup (a\vinf a)=a und mit b=a∧ab=a\vinf a: a∧((a∧a)∨a)=a∧a=aa\vinf ((a\vinf a)\vsup a)=a\vinf a=a. Fürs Supremum kann der Beweis analog geführt werden.
(v) Auch für diesen Beweis brauchen wir nicht auf die Ordnungsstruktur zurückgreifen. Sei a∧b=aa\vinf b=a. Mit den Verschmelzungsgesetzen ergibt sich b=b∨(a∧b=a)=a∨bb=b\vsup(a\vinf b=a)=a\vsup b. Die Rückrichtung wird analog bewiesen.
Die verbleibende Äquivalenz wurde schon im Beweis von Satz 160J erledigt. □\qed
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Ordnungstheorie