Universalität der Mengensysteme
Satz 160I (Zu teilweise geordneten Mengen ordnungsisomorphe Mengensysteme)
Beispiel
Für das nebenstehende
Hassediagramm finden wir die kanonische
Abbildung:
a↦Mi(a)={a};
b↦Mi(b)={b};
c↦Mi(c)={a,b,c};
d↦Mi(d)={a,b,c,d}.
Beweis
Seien
a,b∈M; dann ist
f(a)=Mi(a) und
f(b)=Mi(b). Wenn nun
Mi(a)=Mi(b) ist, gilt sowohl
a≤b als auch
b≤a, und damit
a=b, also ist
f injektiv.
Nach
Satz 1601 (iv) ist
a≤b⟺Mi(a)⊆Mi(b), damit sind
f und
f−1 isoton.
Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.
Godfrey Harold Hardy
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