Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeitsregeln sind Verfahren, die es ermöglichen schnell und unkompliziert Informationen über die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch gewisse Andere Zahlen zu gewinnen.

Dekadische Darstellung

Die meisten Teilbarkeitsregeln beruhen auf der dekadischen Darstellung der natürlichen Zahlen. Dieses Dezimalsystem beruht auf den wohl bekannten 10 Ziffern 0…90\ldots 9 als Bausteine der Zahlen. Sind a0a_0, a1a_{1}, ... ,an−1a_{n-1}, ana_n Ziffern aus der Menge {0,…,9}\{0,\ldots,9\}, so ist die anan−1…a1a0a_na_{n-1}\ldots a_1a_0 geschriebene Zahl als
an⋅10n+an−1⋅10n−1+a1⋅102+…+a1⋅101+a0⋅100a_n\cdot 10^{n}+a_{n-1}\cdot 10^{n-1} +a_1\cdot 10^{2}+\ldots+ a_{1}\cdot 10^1+a_{0}\cdot 10^0
zu interpretieren.

Beispiel

123≅1⋅102+2⋅101+3⋅100123\cong 1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+3\cdot 10^0
6787≅6⋅103+7⋅102+8⋅101+7⋅1006787\cong 6\cdot 10^3+7\cdot 10^2+8\cdot 10^1+7\cdot 10^0

Quersumme

Ein weiteres wichtiges Konzept für die Teilbarkeitsregeln ist die Quersumme. Wenn a1a2…ana_1a_2\ldots a_n eine natürliche Zahl in dekadischer Darstellung ist, dann ist ihre Quersumme als a1+a2+…+an=∑k=1naka_1+a_2+\ldots+a_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k definiert.

Beispiel

Die Quersumme von 123123 ist 1+2+3=61+2+3=6.
Die Quersumme von 67876787 ist 6+7+8+7=286+7+8+7=28.

Satz 5416A (Teilbarkeit durch 2, 5 und 10)

Eine natürliche Zahl aa ist genau dann durch
  • 22 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 22 teilbar ist
  • 55 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 00 oder 55 ist
  • 1010 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 00 ist

Beweis

Wenn an10n+…+10a1+a0a_n10^n+\ldots+10a_1+a_0 die Darstellung der Zahl ist, können wir im Fall a0=2a_0=2 oder a0=5a_0=5 jeweils 22 oder 55 ausklammern, womit sich die Teilbarkeit ergibt.
Im Falle der Teilbarkeitsregel für 1010 verschwindet a0a_0 und wir können die 1010 ausklammern. □\qed

Satz 5416B (Teilbarkeit durch Potenzen von 2 und 5)

Eine natürliche Zahl aa ist genau dann durch 2k2^k (bzw. 5k5^k) teilbar, wenn ihre letzten kk Ziffern als Zahl gesehen durch 2k2^k (bzw. 5k5^k) teilbar sind.
Insbesondere ist dann eine Zahl durch 44 teilbar, wenn ihre letzen beiden Ziffern durch 44 teilbar sind und durch 88 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern durch 88 teilbar sind.

Beweis

Sei die Dezimaldarstellung der Zahl aa mit an10n+…+ak10k+ak−110k−1+…+10a1+a0a_n10^n+\ldots+a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+ \ldots+10a_1+a_0 gegeben, dann ist der Teil an10n+…+ak10ka_n10^n+\ldots+a_k10^k mit Sicherheit durch 2k2^k (bzw. 5k5^k) teilbar, weil 10k=2k5k10^k=2^k5^k sich ausklammern lässt. Damit hängt die Teilbarkeit nur von den letzten kk Stellen ab. □\qed

Satz 5416C (Teilbarkeit durch 3, 6 und 9)

Eine natürliche Zahl aa ist genau dann durch 3 (bzw. 9) teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 (bzw. 9) teilbar ist.
Eine natürliche Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist, also gerade ist und eine durch 3 teilbare Quersumme hat.
Das Quersummenkriterium kann auch rekursiv angewandt werden. Wenn also eine Quersumme zu groß ist, um die Teilbarkeit zu entscheiden kann man nochmals die Quersumme bilden.

Beweis

Sei die Dezimaldarstellung der Zahl aa mit
an10n+an−110n−1+…+10a1+a0a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+10a_1+a_0(1)
gegeben. In Beispiel 5417A haben wir gezeigt, dass 9∣10k−19|10^k-1 für k≥1k\geq 1; wir können also
10k−1=9bk10^k-1=9b_k
und damit auch
10k=9bk+110^k=9b_k+1(2)
ansetzen. Setzen wir dies nun in (1) ein, ergibt sich
an(9bn+1)+an−1(9bn−1+1)+…+(9b1+1)a1+a0a_n(9b_n+1)+a_{n-1}(9b_{n-1}+1)+\ldots+(9b_1+1)a_1+a_0,
und etwas umgestellt
9(anbn+an−1bn−1+…+a1b1)+an+an−1+…+a1+a09(a_nb_n+a_{n-1}b_{n-1}+\ldots+a_1b_1)+a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0.
Aus dieser Beziehung ist die Gültigkeit der Behauptungen für 33 und 99 sofort zu ersehen. □\qed

Beispiele

162 ist durch 3, 6 und 9 teilbar, weil die Quersumme 9 ist und die Zahl gerade ist.
8756475 hat die Quersumme 42, ist also durch 3 teilbar. Außerdem ist die Zahl durch 5 teilbar.
 
 

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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