Division mit Rest in Polynomringen

Satz 81DH (Division mit Rest)

Seien \(\displaystyle P,Q\in K[x]\) Polynome, \(\displaystyle Q\neq0\). Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome \(\displaystyle q,r\in K[x]\), sodass \(\displaystyle P=qQ+r \) mit \(\displaystyle \deg r<\deg Q\) gilt. Das Polynom \(\displaystyle r\) heißt dabei der Rest der Division von \(\displaystyle P\) durch \(\displaystyle Q\).

Beweis

Zur Eindeutigkeit: Seien \(\displaystyle P=qQ+r\) und \(\displaystyle P=\tilde{q}Q+\tilde{r}\) mit \(\displaystyle \deg r, \deg\tilde{r}<\deg Q\) zwei solche Darstellungen. Dann gilt
\(\displaystyle 0=P-P=(qQ+r)-(\tilde{q}Q+\tilde{r})\)\(\displaystyle =(q-\tilde{q})Q+(r-\tilde{r}) \).
Wäre \(\displaystyle q-\tilde{q}\neq0\), so müsste \(\displaystyle \deg((q-\tilde{q})Q)=\deg(r-\tilde{r}) \) gelten. Nun ist aber
\(\displaystyle \deg((q-\tilde{q})Q)=\underbrace{\deg(q-\tilde{q})}_{\ge0\text{ da }q-\tilde{q}\neq0}+\deg Q\ge\deg Q\, \) (Satz 81BL)
Andererseits ist aber
\(\displaystyle \deg(r-\tilde{r})\le\max\{\deg r,\deg\tilde{r}\}<\deg Q \).
Also muss doch \(\displaystyle q-\tilde{q}=0\) sein und damit auch \(\displaystyle 0=(q-\tilde{q})Q+(r-\tilde{r})=r-\tilde{r}\). Dies zeigt \(\displaystyle q=\tilde{q}\) und \(\displaystyle r=\tilde{r}\), also die Eindeutigkeit der Darstellung.Zur Existenz: Für \(\displaystyle \deg P<\deg Q\) ist \(\displaystyle P=0\cdot Q+P \) eine Darstellung der gewünschten Form. Für \(\displaystyle \deg Q=0\) ist hingegen \(\displaystyle Q=q_0\in K\) und \(\displaystyle \nohtml P=Pq_0^{-1}Q+0 \) ist eine Darstellung. Für \(\displaystyle \deg P\ge\deg Q\) führen wir den Beweis mittels vollständiger Induktion nach \(\displaystyle \deg P\). Falls \(\displaystyle \deg P=0\) muss auch \(\displaystyle \deg Q=0\) sein, und man erhält die Darstellung wie oben. Sei nun \(\displaystyle \deg P\ge\deg Q\ge0\) und die Aussage für Polynome kleineren Grades bereits gezeigt. Dann betrachten wir für
\(\displaystyle P=p_0+p_1x+\dots+p_nx^n\) und \(\displaystyle Q =q_0+q_1x+\dots+q_mx^m\)
das Polynom
\(\displaystyle \nohtml P'=P-p_nq_m^{-1}x^{n-m}Q \)\(\displaystyle =p_0+\dots+\underbrace{(p_n-p_nq_m^{-1}q_m)}_{=0}x^n \),
also \(\displaystyle \deg P'<n\), da sich die Koeffizienten von \(\displaystyle x^n\) gerade aufheben. Nach Induktionsvoraussetzung ist nun \(\displaystyle P'=q'Q+r'\) mit \(\displaystyle \deg r'<\deg Q \). Dann gilt \(\displaystyle P=p_nq_m^{-1}x^{n-m}Q+P'\) \(\displaystyle =(p_nq_m^{-1}x^{n-m}+q')Q+r' \) mit \(\displaystyle \deg r'<\deg Q\). Dies ist die gesuchte Darstellung. \(\displaystyle \qed\)
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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