Division mit Rest in Polynomringen

Satz 81DH (Division mit Rest)

Seien P,Q∈K[x]P,Q\in K[x] Polynome, Q≠0Q\neq0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q,r∈K[x]q,r\in K[x], sodass P=qQ+r P=qQ+r mit deg⁡r<deg⁡Q\deg r<\deg Q gilt. Das Polynom rr heißt dabei der Rest der Division von PP durch QQ.

Beweis

Zur Eindeutigkeit: Seien P=qQ+rP=qQ+r und P=q~Q+r~P=\tilde{q}Q+\tilde{r} mit deg⁡r,deg⁡r~<deg⁡Q\deg r, \deg\tilde{r}<\deg Q zwei solche Darstellungen. Dann gilt
0=P−P=(qQ+r)−(q~Q+r~) 0=P-P=(qQ+r)-(\tilde{q}Q+\tilde{r})=(q−q~)Q+(r−r~) =(q-\tilde{q})Q+(r-\tilde{r}) .
Wäre q−q~≠0q-\tilde{q}\neq0, so müsste deg⁡((q−q~)Q)=deg⁡(r−r~) \deg((q-\tilde{q})Q)=\deg(r-\tilde{r}) gelten. Nun ist aber
deg⁡((q−q~)Q)=deg⁡(q−q~)⎵≥0 da q−q~≠0+deg⁡Q≥deg⁡Q  \deg((q-\tilde{q})Q)=\underbrace{\deg(q-\tilde{q})}_{\ge0\text{ da }q-\tilde{q}\neq0}+\deg Q\ge\deg Q\, (Satz 81BL)
Andererseits ist aber
deg⁡(r−r~)≤max⁡{deg⁡r,deg⁡r~}<deg⁡Q \deg(r-\tilde{r})\le\max\{\deg r,\deg\tilde{r}\}<\deg Q .
Also muss doch q−q~=0q-\tilde{q}=0 sein und damit auch 0=(q−q~)Q+(r−r~)=r−r~0=(q-\tilde{q})Q+(r-\tilde{r})=r-\tilde{r}. Dies zeigt q=q~q=\tilde{q} und r=r~r=\tilde{r}, also die Eindeutigkeit der Darstellung. Zur Existenz: Für deg⁡P<deg⁡Q\deg P<\deg Q ist P=0⋅Q+P P=0\cdot Q+P eine Darstellung der gewünschten Form. Für deg⁡Q=0\deg Q=0 ist hingegen Q=q0∈KQ=q_0\in K und P=Pq0−1Q+0\nohtml P=Pq_0^{-1}Q+0 ist eine Darstellung. Für deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\ge\deg Q führen wir den Beweis mittels vollständiger Induktion nach deg⁡P\deg P. Falls deg⁡P=0\deg P=0 muss auch deg⁡Q=0\deg Q=0 sein, und man erhält die Darstellung wie oben. Sei nun deg⁡P≥deg⁡Q≥0\deg P\ge\deg Q\ge0 und die Aussage für Polynome kleineren Grades bereits gezeigt. Dann betrachten wir für
P=p0+p1x+⋯+pnxn P=p_0+p_1x+\dots+p_nx^n und Q=q0+q1x+⋯+qmxm Q =q_0+q_1x+\dots+q_mx^m
das Polynom
P′=P−pnqm−1xn−mQ\nohtml P'=P-p_nq_m^{-1}x^{n-m}Q =p0+⋯+(pn−pnqm−1qm)⎵=0xn =p_0+\dots+\underbrace{(p_n-p_nq_m^{-1}q_m)}_{=0}x^n ,
also deg⁡P′<n\deg P'<n, da sich die Koeffizienten von xnx^n gerade aufheben. Nach Induktionsvoraussetzung ist nun P′=q′Q+r′ P'=q'Q+r' mit deg⁡r′<deg⁡Q\deg r'<\deg Q . Dann gilt P=pnqm−1xn−mQ+P′ P=p_nq_m^{-1}x^{n-m}Q+P' =(pnqm−1xn−m+q′)Q+r′ =(p_nq_m^{-1}x^{n-m}+q')Q+r' mit deg⁡r′<deg⁡Q\deg r'<\deg Q. Dies ist die gesuchte Darstellung. □\qed
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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