Universalität der Polynomringe

Die Bedeutung der Polynomringe besteht nicht zuerst darin, dass Polynome besonders einfache Abbildungen K⟶KK\longrightarrow K darstellen, sondern in einem gewissen Sinne universell sind, da man in Polynome beliebige Elemente einer KK-Algebra einsetzen kann.

Satz 81EF (Universalität des Polynomrings)

Sei KK ein Körper und AA eine KK-Algebra. Dann gibt es zu jedem Element a∈Aa\in A genau einen KK-Algebra-Homomorphismus
φ:K[x]⟶A\phi:K[x]\longrightarrow A mit φ(x)=a\phi(x)=a.
φ\phi heißt der Substitutionshomomorphismus.

Beweis

Eindeutigkeit von φ\phi: Angenommen φ′:K[x]⟶A\phi':K[x]\longrightarrow A ist ein KK-Algebra-Homomorphismus mit φ′(x)=a\phi'(x)=a. Dann gilt für jedes Polynom P=p0+p1x+⋯+pnxn∈K[x]P=p_0+p_1x+\dots+p_nx^n\in K[x]: φ(P)=φ(p0+p1x+⋯+pnxn) \phi(P)=\phi(p_0+p_1x+\dots+p_nx^n) =p0φ(1)+p1φ(x)+⋯+pnφ(xn) =p_0\phi(1)+p_1\phi(x)+\dots+p_n\phi(x^n) =p01+p1a+⋯+pnan {=}p_01+p_1a+\dots+p_na^n =p0φ′(1)+p1φ′(x)+⋯+pnφ′(xn) =p_0\phi'(1)+p_1\phi'(x)+\dots+p_n\phi'(x^n) =φ′(p0+p1x+⋯+pnxn) =\phi'(p_0+p_1x+\dots+p_nx^n) =φ′(P) =\phi'(P) Also φ=φ′\phi=\phi'.
Existenz: Wir definieren φ(P)=p01+p1a+⋯+pnan\phi(P) {=}p_01+p_1a+\dots+p_na^n und kann schnell nachrechnen, dass das so definierte φ\phi ein KK-Algebra-Homomorphismus ist. □\qed

Beispiele

A=KA=K, a=λ∈Ka=\lambda\in K. Dann ist φ:K[x]⟶K \phi:K[x]\longrightarrow K mit x⟼λ x\longmapsto\lambda gerade die Auswerteabbildung, die jedes Polynom an der Stelle λ\lambda auswertet. R\R ist eine Q\Q-Algebra, also kann man reelle Zahlen in Polynome mit rationalen Koeffizienten einsetzen. φ2:Q[x]⟶R \phi_{\sqrt2}:\Q[x]\longrightarrow\R mit x⟼2 x\longmapsto\sqrt{2} . EndK(V)\End_K(V) ist eine KK-Algebra, also können wir Endomorphismen in Polynome einsetzen. Zum Beispiel für f∈EndK(V)f\in\End_K(V) ist φf:K[x]⟶EndK(V) \phi_f:K[x]\longrightarrow\End_K(V) mit x⟼f x\longmapsto f . Mat(n×n,K)\Mat(n\times n, K) ist eine KK-Algebra, daher können wir quadratische Matrizen in Polynome einsetzen. Abb(K,K\Abb(K,K) ist eine KK-Algebra. Wenn wir für xx die identische Abbildung einsetzen, erhalten wir den KK-Algebra-Homomorphismus φid⁡:K[x]⟶Abb(K,K) \phi_{\id}:K[x]\longrightarrow\Abb(K,K) mit p⟼p~ p\longmapsto\tilde{p} für die Polynomabbildung.

Satz 81EG

Der Polynomring K[x]K[x] ist bis auf Isomorphie die einzige KK-Algebra, die die universelle Eigenschaft aus Satz 81EF hat.

Beweis

Angenommen UU ist eine weitere universelle KK-Algebra und u∈Uu\in U, sodass für jedes a∈Aa\in A genau ein KK-Algebra-Homomorphismus φ:U⟶A \phi:U\longrightarrow A mit u⟼a u\longmapsto a existiert. Dann gibt es eindeutig bestimmte Abbildungen φ:U⟶K[x] \phi:U\longrightarrow K[x] mit u⟼x u\longmapsto x und ψ:K[x]⟶U \psi:K[x]\longrightarrow U mit x⟼u x\longmapsto u . Dann sind die Hintereinanderausführungen
φ∘ψ:K[x]⟶K[x] \phi\circ\psi: K[x]\longrightarrow K[x] mit x⟼x x\longmapsto x und
ψ∘φ:U⟶U \psi\circ\phi:U\longrightarrow U mit u⟼uu\longmapsto u
KK-Algebra-Homomorphismen. Da auch id⁡K[x]\id_{K[x]} und id⁡U\id_U KK-Algebra-Homomorphismen sind, die xx auf xx bzw. uu auf uu abbilden und diese wegen der universellen Eigenschaft eindeutig bestimmt sind, muss φ∘ψ=id⁡K[x] \phi\circ\psi=\id_{K[x]} und ψ∘φ=id⁡K \psi\circ\phi=\id_K sein. Also sind UU und K[x]K[x] isomorph. □\qed
 
 

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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