Universalität der Polynomringe

Die Bedeutung der Polynomringe besteht nicht zuerst darin, dass Polynome besonders einfache Abbildungen \(\displaystyle K\longrightarrow K\) darstellen, sondern in einem gewissen Sinne universell sind, da man in Polynome beliebige Elemente einer \(\displaystyle K\)-Algebra einsetzen kann.

Satz 81EF (Universalität des Polynomrings)

Sei \(\displaystyle K\) ein Körper und \(\displaystyle A\) eine \(\displaystyle K\)-Algebra. Dann gibt es zu jedem Element \(\displaystyle a\in A\) genau einen \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus
\(\displaystyle \phi:K[x]\longrightarrow A\) mit \(\displaystyle \phi(x)=a\).
\(\displaystyle \phi\) heißt der Substitutionshomomorphismus.
 
 

Beweis

Eindeutigkeit von \(\displaystyle \phi\): Angenommen \(\displaystyle \phi':K[x]\longrightarrow A\) ist ein \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus mit \(\displaystyle \phi'(x)=a\). Dann gilt für jedes Polynom \(\displaystyle P=p_0+p_1x+\dots+p_nx^n\in K[x]\): \(\displaystyle \phi(P)=\phi(p_0+p_1x+\dots+p_nx^n)\) \(\displaystyle =p_0\phi(1)+p_1\phi(x)+\dots+p_n\phi(x^n)\) \(\displaystyle {=}p_01+p_1a+\dots+p_na^n\) \(\displaystyle =p_0\phi'(1)+p_1\phi'(x)+\dots+p_n\phi'(x^n)\) \(\displaystyle =\phi'(p_0+p_1x+\dots+p_nx^n)\) \(\displaystyle =\phi'(P) \) Also \(\displaystyle \phi=\phi'\).
Existenz: Wir definieren \(\displaystyle \phi(P) {=}p_01+p_1a+\dots+p_na^n\) und kann schnell nachrechnen, dass das so definierte \(\displaystyle \phi\) ein \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus ist. \(\displaystyle \qed\)

Beispiele

\(\displaystyle A=K\), \(\displaystyle a=\lambda\in K\). Dann ist \(\displaystyle \phi:K[x]\longrightarrow K\) mit \(\displaystyle x\longmapsto\lambda \) gerade die Auswerteabbildung, die jedes Polynom an der Stelle \(\displaystyle \lambda\) auswertet.\(\displaystyle \R\) ist eine \(\displaystyle \Q\)-Algebra, also kann man reelle Zahlen in Polynome mit rationalen Koeffizienten einsetzen. \(\displaystyle \phi_{\sqrt2}:\Q[x]\longrightarrow\R\) mit \(\displaystyle x\longmapsto\sqrt{2} \).\(\displaystyle \End_K(V)\) ist eine \(\displaystyle K\)-Algebra, also können wir Endomorphismen in Polynome einsetzen. Zum Beispiel für \(\displaystyle f\in\End_K(V)\) ist \(\displaystyle \phi_f:K[x]\longrightarrow\End_K(V)\) mit \(\displaystyle x\longmapsto f \).\(\displaystyle \Mat(n\times n, K)\) ist eine \(\displaystyle K\)-Algebra, daher können wir quadratische Matrizen in Polynome einsetzen. \(\displaystyle \Abb(K,K\)) ist eine \(\displaystyle K\)-Algebra. Wenn wir für \(\displaystyle x\) die identische Abbildung einsetzen, erhalten wir den \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus \(\displaystyle \phi_{\id}:K[x]\longrightarrow\Abb(K,K)\) mit \(\displaystyle p\longmapsto\tilde{p} \) für die Polynomabbildung.

Satz 81EG

Der Polynomring \(\displaystyle K[x]\) ist bis auf Isomorphie die einzige \(\displaystyle K\)-Algebra, die die universelle Eigenschaft aus Satz 81EF hat.

Beweis

Angenommen \(\displaystyle U\) ist eine weitere universelle \(\displaystyle K\)-Algebra und \(\displaystyle u\in U\), sodass für jedes \(\displaystyle a\in A\) genau ein \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus \(\displaystyle \phi:U\longrightarrow A\) mit \(\displaystyle u\longmapsto a \) existiert. Dann gibt es eindeutig bestimmte Abbildungen \(\displaystyle \phi:U\longrightarrow K[x]\) mit \(\displaystyle u\longmapsto x\) und \(\displaystyle \psi:K[x]\longrightarrow U\) mit \(\displaystyle x\longmapsto u \). Dann sind die Hintereinanderausführungen
\(\displaystyle \phi\circ\psi: K[x]\longrightarrow K[x]\) mit \(\displaystyle x\longmapsto x\) und
\(\displaystyle \psi\circ\phi:U\longrightarrow U\) mit \(\displaystyle u\longmapsto u\)
\(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismen. Da auch \(\displaystyle \id_{K[x]}\) und \(\displaystyle \id_U\) \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismen sind, die \(\displaystyle x\) auf \(\displaystyle x\) bzw. \(\displaystyle u\) auf \(\displaystyle u\) abbilden und diese wegen der universellen Eigenschaft eindeutig bestimmt sind, muss \(\displaystyle \phi\circ\psi=\id_{K[x]}\) und \(\displaystyle \psi\circ\phi=\id_K \) sein. Also sind \(\displaystyle U\) und \(\displaystyle K[x]\) isomorph. \(\displaystyle \qed\)

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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