Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme

In Satz 16C5 wurde die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems charakterisiert, dabei wurde keine Aussage über die Lösungsmenge getroffen. Dies erledigt

Satz 16C7 (Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems)

Sei \(\displaystyle Ax=b\) ein lösbares lineares Gleichungssystem mit \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\). Ferner sei \(\displaystyle f:K^n\to K^m\), \(\displaystyle x\mapto Ax\) die zu \(\displaystyle A\) gehörige Standardabbildung. Ist \(\displaystyle x_0\) eine spezielle Lösung (\(\displaystyle Ax_0=b\)), dann gilt für jede Lösung \(\displaystyle v=x_0+w\), wobei \(\displaystyle w\in\Ker f\). Die Lösungsmenge schreibt man als
\(\displaystyle x_0+\Ker f=\{x_0+w\, |\, w\in\Ker f\}\).
Sie ist im allgemeinen kein linearer Teilraum von \(\displaystyle K^n\).
Insbesondere gilt: Das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn \(\displaystyle \Ker f=0\) gilt und das homogene lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=0\) nur die triviale Lösung \(\displaystyle x=0\) hat.
 
 

Beweis

Ist \(\displaystyle x_1\in K^n\) Lösung von \(\displaystyle Ax=b\), so gilt \(\displaystyle A(x_1-x_0)=Ax_1-Ax_0\) \(\displaystyle =b-b=0\), also \(\displaystyle x_1-x_0\in\Ker f\) \(\displaystyle \implies x_1\in x_0+\Ker f\).
Sei \(\displaystyle x_1\in x_0+\Ker f\), dann gibt es ein \(\displaystyle w\in\Ker f\) mit \(\displaystyle x_1=x_0+w\). Es gilt: \(\displaystyle Ax_1=A(x_0+w)\) \(\displaystyle =Ax_0+Aw\) \(\displaystyle =b+0=b\), also ist \(\displaystyle x_1\) Lösung des linearen Gleichungssystems. \(\displaystyle \qed\)

Satz 16C9 (Elementare Zeilenumformungen und Lösungsmenge)

Elementare Zeilenumformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht.
Genauer: Sei \(\displaystyle Ax=b\) ein lineares Gleichungssystem mit \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\). Kann die Matrix \(\displaystyle (A|b)\) durch elementare Zeilenumformungen in die Matrix \(\displaystyle (A'|b')\) überführt werden, so besitzen die linearen Gleichungssysteme \(\displaystyle Ax=b\) und \(\displaystyle A'x=b'\) dieselbe Lösungsmenge.

Beweis

Betrachtet man die Struktur der elementaren Zeilenumformungen Z1 bis Z4, so sieht man, dass diese die Lösungsstruktur von \(\displaystyle Ax=b\) nicht ändern. Alle Lösungen von \(\displaystyle Ax=b\) sind auch Lösungen von \(\displaystyle A'x=b'\). Weil man nun diese Umformungen ebenso wieder rückgängig machen kann, sind die Lösungen von \(\displaystyle A'x=b'\) auch Lösungen von \(\displaystyle Ax=b\) \(\displaystyle \qed\)

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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