Rangbestimmung mit Hilfe von Determinanten

Die Determinanten, nur definiert für quadratische Matrizen (Endomorphismen), können auch in der Theorie allgemeiner Rechtecksmatrizen verwendet werden.

Definition

Bei einer beliebigen Matrix \(\displaystyle A \in M(m,n,{\mathbb{K}})\) heißt die Determinante einer durch Streichen von \(\displaystyle m-k\) Zeilen und \(\displaystyle n-k\) Spalten entstandene \(\displaystyle k\)-reihige Teilmatrix \(\displaystyle \tilde{A} \in M(k,k,{\mathbb{K}})\) eine \(\displaystyle k\)-reihige Unterdeterminante oder ein \(\displaystyle k\)-reihiger Minor von \(\displaystyle A\).
 
 

Satz

Der Rang einer Matrix \(\displaystyle A \in M(m,n,{\mathbb{K}})\) ist die größte Zahl \(\displaystyle r\), für die eine von Null verschiedene \(\displaystyle r\)-reihige Unterdeterminante existiert, das heißt\(\displaystyle \rang A = r \iff \) Es gibt eine \(\displaystyle r\)-reihige Unterdeterminante \(\displaystyle \ne 0\) und jede \(\displaystyle k\)-reihige Unterdeterminante mit \(\displaystyle k>r\) ist gleich Null.

Beispiel

\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\) zweireihige Unterdeterminanten \(\displaystyle \det \ne 0 \Rightarrow \rang A = 2\)

Beweis

Es sei \(\displaystyle \overline{r}\) die größte ganze Zahl, für die eine \(\displaystyle \overline{r}\)-reihige Unterdeterminante \(\displaystyle \ne 0\) existiert. Wir zeigen \(\displaystyle r = \rang A \stackrel{!}{=} \overline{r}\).\(\displaystyle \rang A = r \Rightarrow\) es gibt \(\displaystyle r\) unabhängige Spalten in \(\displaystyle A \Rightarrow\) Für die durch Streichen der restlichen Spalten entstandene Teilmatrix \(\displaystyle A' \in M(m,r,{\mathbb{K}})\) gilt ebenfalls \(\displaystyle \rang A' = r \Rightarrow\) Es gibt \(\displaystyle r\) linear unabhängige Zeilen in \(\displaystyle A' \Rightarrow\) Für die durch Streichen der restlichen Zeilen entstandene Teilmatrix \(\displaystyle \tilde{A} \in M(r,r,{\mathbb{K}})\) gilt ebenfalls \(\displaystyle \rang\tilde{A} = r \Rightarrow \tilde{A}\) ist regulär \(\displaystyle \Rightarrow \det \tilde{A} \ne 0\). Also gilt \(\displaystyle r = \rang A \le \overline{r}\) (ist gleich größte ganze Zahl, für die eine \(\displaystyle \overline{r}\)-reihige Unterdeterminante \(\displaystyle \ne 0\) existiert.)\(\displaystyle \overline{A}\) sei eine \(\displaystyle \overline{r}\)-reihige Teilmatrix mit \(\displaystyle \det A \ne 0 \Rightarrow \overline{A}\) regulär \(\displaystyle \Rightarrow \rang \overline{A} = \overline{r}\). Durch Hinzufügen der gestrichenen Zeilen und Spalten vergrößert sich höchstens der Rang. Also ist \(\displaystyle r = \rang A \ge \overline{r}\). \(\displaystyle \qed\)

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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