Cramersche Regel

Adjunkte

Sei \(\displaystyle A\in \Mat(n\times n,K)\) gegeben, dann heißt \(\displaystyle \tilde{A}=(\tilde{a}_{ij})\) mit \(\displaystyle \tilde{a}_{ij}:=(-1)^{i+j}\det{ A_{ji}} \) die Adjunkte (oder adjungierte Matrix) zu \(\displaystyle A\). (Man beachte die Indizes in \(\displaystyle A_{ji}\)!)

Beispiel

Sei \(\displaystyle A= \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\), dann ist \(\displaystyle \tilde{A}= \begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix} \). Es gilt \(\displaystyle A\cdot \tilde{A}= \begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&-bc+ad \end{pmatrix} =\det{A}\cdot \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} \). Dies ist kein Zufall, denn es gilt allgemein:
 
 

Satz 16ND (Determinante und Adjunkte)

Sei \(\displaystyle A\in \Mat(n\times n,K)\), dann gilt
\(\displaystyle A\cdot \tilde{A}=\tilde{A}\cdot A=\det{A}\cdot E\)
Insbesondere gilt: Ist \(\displaystyle A\) invertierbar, so ist \(\displaystyle \det{A}\neq 0\) und dann gilt
\(\displaystyle A^{-1}=\dfrac 1{\det{A}} \cdot \tilde{A} \).

Beweis

Sei \(\displaystyle B=A\cdot \tilde{A}=(b_{ij})\). Dann ist \(\displaystyle (b_{ij})=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}\tilde{a}_{kj}\) \(\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}(-1)^{j+k}\det{A_{jk}} \) \(\displaystyle {=}\det{A'} \) (bei Entwicklung nach \(\displaystyle j\)-ter Zeile).
Die Matrix \(\displaystyle A'\) entsteht nun aus \(\displaystyle A\), indem die \(\displaystyle j\)-te Zeile durch die \(\displaystyle i\)-te ersetzt wird. Daher ist \(\displaystyle b_{ij}=\ntxbraceKO {\begin{matrix}\det A& \text {für } i=j\\ 0& \text {sonst}\end{matrix}}\) , denn im Fall \(\displaystyle i!=j\) enthält \(\displaystyle A'\) zwei gleiche Zeilen. \(\displaystyle \qed\)

Beispiel

Für \(\displaystyle A\in \Mat(n\times n,\mathbb{Z})\) gilt: es existiert \(\displaystyle B\in M(n\times n,\mathbb{Z})\) mit \(\displaystyle A\cdot B=E\) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \det{A}=\pm 1\).
"\(\displaystyle \Leftarrow\)": \(\displaystyle \det{A}=\pm 1\) \(\displaystyle \implies\tilde{A}\in \Mat(n\times n,\mathbb{Z})\) \(\displaystyle \implies A^{-1}=\pm A\in \Mat(n\times n,\mathbb{Z})\)."\(\displaystyle \Rightarrow \)": \(\displaystyle A\cdot A^{-1}=E\) \(\displaystyle \implies 1=\det{E}=\det{A}\cdot \det{A^{-1}}\Rightarrow \det{A}=\det{A^{-1}}=\pm 1\).
Die Lösung von linearen Gleichungssystemen lässt sich auf die alleinige Berechnung von Determinanten zurückführen, wie der folgende Satz zeigt.

Satz 16NE (Cramersche Regel)

Für \(\displaystyle A\in \operatorname{GL}(n,K)\), \(\displaystyle b\in K^n\) hat das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) die eindeutige Lösung
(1)
\(\displaystyle x_i=(A^{-1}b)_i\)\(\displaystyle =\dfrac 1 {\det{A}}\cdot \sum\limits_{j=1}^nb_j\, \underbrace{(-1)^{i+j}\det{A_{ji}}}_{=\tilde{a}_{ij}}\) \(\displaystyle =\dfrac 1 {\det{A}}\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} \).

Beweis

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\). Weil \(\displaystyle A\in \operatorname{GL}(n,K)\) existiert \(\displaystyle A^{-1}=\det{A}^{-1}\cdot \tilde{A}\). Gesucht ist \(\displaystyle x_i\). Betrachte \(\displaystyle i\)-te Zeile von \(\displaystyle A^{-1}b=x\). Dann gilt: \(\displaystyle x_i=( A^{-1}b)_i\) \(\displaystyle =\left( ( \det({A}^{-1})\cdot \tilde{A})b\right)_{i}\) \(\displaystyle =\det({A}^{-1})\cdot ({\tilde{A}}b)_{i}\) Mit \(\displaystyle {\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det{A_{ji}}}\) und \(\displaystyle B\) als diejenige Matrix, die durch Ersetzen der \(\displaystyle i\)-ten Spalte aus \(\displaystyle A\) durch den Vektor \(\displaystyle b\) entsteht: \(\displaystyle x_i=\det({A}^{-1})\cdot {\left( \sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_j\det{A_{ji}}\right)}{\det B }\) \(\displaystyle =\det{A}^{-1}\cdot \det B \) (\(\displaystyle \det B\) entwickelt nach der \(\displaystyle i\) -ten Spalte) \(\displaystyle \qed\)
Die Formel (1) ist für die praktische Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ungeeignet, da \(\displaystyle n+1\) Determinanten berechnet werden müssen, was der \(\displaystyle n+1\)-maligen Anwendung des Gaußschen Algorithmus entspricht.

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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