Leibnizformel zur Berechnung der Determinante

Sei $A\in \Mat(n\times n,K)$ eine Matrix mit $A=(a_{ij})$, so gilt Dies ist eine Summe mit $n!$ Summanden. Diese bestehen für jede Permutation aus $\bm S_n$ aus einem Produkt des Signums der Permutation und dem Produkt von permutierten Spalten.

$\det{A}=\det(\sum\limits_{j_1}a_{1j}e_j,\sum\limits_{j_2}a_{2j}e_j,\dots,\sum\limits_{j_n}a_{nj}e_j)$. Da $\det$ multilinear ist: $\det{A}=\sum\limits_{\atop{J=(j_1,\dots,j_n)}{\in \{ 1,\dots,n \}^n}}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}\det(e_{j_1},\dots,e_{j_n})$ Nun ist $\det(e_{j_1},\dots,e_{j_n})=0$, falls es $\mu\neq\nu$ gibt mit $\ j_\mu=j_\nu$, d.h. falls $J:\{ 1,\dots,n \}\rightarrow \{ 1,\dots,n \}$ mit $\mu\mapsto j_\mu$ nicht injektiv (also auch nicht bijektiv) ist und damit keine Permutation ist. Daher gilt $\det{A}=\sum\limits_{ j=\sigma\in S(n)}a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\underbrace{\det(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})}_{=\sgn(\sigma)}$. $\qed$

Wegen der $n!$ Summanden ist die Leibnizformel für die praktische Berechnung der Determinante eher ungeeignet. Sie bietet eine alternative Möglichkeit zum Laplaceschen Entwicklungssatz, um die Existenz der Determinante zu zeigen. Dazu beweist man, dass die rechte Seite im Satz eine Determinantenfunktion liefert. Dass es sich um eine alternierende $n$-Form handelt, kann man aus obigen Beweis ableiten. Bleibt zu zeigen, dass für die so konstruierte Determinantenfunktion auch $\det E=1$ gilt. Dazu überlege man sich, dass alle Summanden in der Leibnizformel verschwinden, bis auf denjenigen für die identische Permutation.

Für Matrizen aus $\Mat(n,\R)$ bzw. $\Mat(n,\C)$ hat die Leibnizsche Determinantenformel wichtige topologische Konsequenzen. $\det(a_{ij})=\sum\limits_{\sigma\in \bm S_n}{}\sgn\sigma\prod\limits_{i=1}^n a_{i\,\sigma(i)}$ ist nämlich ein Polynom in Einträgen von $A$ und damit stetig und sogar beliebig oft differenzierbar. Da $\GL(n, K)={\det}^{-1}(\R\setminus\{0\})$ das Urbild der offenen Menge $\R\setminus\{0\}$ ist, ist auch $\GL(n, K)$ eine offene Teilmenge von $\Mat(n, \R)$ (vgl. Satz 16CG). Umgekehrt ist die Menge der Matrizen $A$ mit $\rang A<n$ (und damit $\det A=0$) als Komplement einer offenen Menge selbst eine abgeschlossene Teilmenge.