Leibnizformel zur Berechnung der Determinante

Satz 16NS (Leibnizformel zur Berechnung der Determinante)

Sei AMat(n×n,K)A\in \Mat(n\times n,K) eine Matrix mit A=(aij)A=(a_{ij}), so gilt
detA=σSnsgn(σ)a1σ(1)anσ(n) \det{A}=\sum\limits_{\sigma\in \bm S_n}\sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdot \ldots\cdot a_{n\sigma(n)}\,
Dies ist eine Summe mit n!n! Summanden. Diese bestehen für jede Permutation aus Sn\bm S_n aus einem Produkt des Signums der Permutation und dem Produkt von permutierten Spalten.
 
 

Beweis

detA=det(j1a1jej,j2a2jej,,jnanjej) \det{A}=\det(\sum\limits_{j_1}a_{1j}e_j,\sum\limits_{j_2}a_{2j}e_j,\dots,\sum\limits_{j_n}a_{nj}e_j). Da det\det multilinear ist: detA=J=(j1,,jn){1,,n}na1j1a2j2anjndet(ej1,,ejn) \det{A}=\sum\limits_{\atop{J=(j_1,\dots,j_n)}{\in \{ 1,\dots,n \}^n}}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}\det(e_{j_1},\dots,e_{j_n}) Nun ist det(ej1,,ejn)=0\det(e_{j_1},\dots,e_{j_n})=0, falls es μν\mu\neq\nu gibt mit  jμ=jν\ j_\mu=j_\nu, d.h. falls J:{1,,n}{1,,n} J:\{ 1,\dots,n \}\rightarrow \{ 1,\dots,n \} mit μjμ \mu\mapsto j_\mu nicht injektiv (also auch nicht bijektiv) ist und damit keine Permutation ist. Daher gilt detA=j=σS(n)a1σ(1)anσ(n)det(eσ(1),,eσ(n))=sgn(σ) \det{A}=\sum\limits_{ j=\sigma\in S(n)}a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\underbrace{\det(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})}_{=\sgn(\sigma)} . \qed

Bemerkung

Wegen der n!n! Summanden ist die Leibnizformel für die praktische Berechnung der Determinante eher ungeeignet. Sie bietet eine alternative Möglichkeit zum Laplaceschen Entwicklungssatz, um die Existenz der Determinante zu zeigen. Dazu beweist man, dass die rechte Seite im Satz eine Determinantenfunktion liefert. Dass es sich um eine alternierende nn-Form handelt, kann man aus obigen Beweis ableiten. Bleibt zu zeigen, dass für die so konstruierte Determinantenfunktion auch detE=1\det E=1 gilt. Dazu überlege man sich, dass alle Summanden in der Leibnizformel verschwinden, bis auf denjenigen für die identische Permutation.

Bemerkung (Beziehungen zur Analysis)

Für Matrizen aus Mat(n,R)\Mat(n,\R) bzw. Mat(n,C)\Mat(n,\C) hat die Leibnizsche Determinantenformel wichtige topologische Konsequenzen. det(aij)=σSnsgnσi=1naiσ(i) \det(a_{ij})=\sum\limits_{\sigma\in \bm S_n}{}\sgn\sigma\prod\limits_{i=1}^n a_{i\,\sigma(i)} ist nämlich ein Polynom in Einträgen von AA und damit stetig und sogar beliebig oft differenzierbar. Da GL(n,K)=det1(R{0})\GL(n, K)={\det}^{-1}(\R\setminus\{0\}) das Urbild der offenen Menge R{0}\R\setminus\{0\} ist, ist auch GL(n,K)\GL(n, K) eine offene Teilmenge von Mat(n,R)\Mat(n, \R) (vgl. Satz 16CG). Umgekehrt ist die Menge der Matrizen AA mit rangA<n\rang A<n (und damit detA=0\det A=0) als Komplement einer offenen Menge selbst eine abgeschlossene Teilmenge.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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