Signum von Permutationen

Das Signum ($\sgn$) ist eine Vorzeichenfunktion für Permutationen, vergleichbar dem Vorzeichen von reellen Zahlen.

Wegen Satz 5325E können wir jede Permutation als Produkt von Transpositionen darstellen. Die Anzahl dieser Transpositionen trotz der Mehrdeutigkeit dieser Produkte für eine feste Permutation immer gerade oder ungerade. Wir definieren das Signum einer Permutation $\pi$ als $+1$, wenn sich $\pi$ als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen darstellen lässt und $-1$, wenn die Anzahl der Faktoren ungerade ist.

Nach Anzahl der Faktoren heißen die Permutationen auch gerade bzw. ungerade Permutationen.

Sei $\pi=(1423)$, dann ist $\sgn \pi=-1$ wegen $(1234)=(14)(13)(12)$.

Für zwei Permutationen $\pi$ und $\sigma$ gilt:

$\sgn (\pi\sigma)=\sgn\pi\cdot\sgn\sigma$

Folgt unmittelbar aus der Definition und der Eigenschaften der Multiplikation von geraden und ungeraden Zahlen. $\qed$

Für eine Permutation $\pi$ einer $n$-elementigen Menge gilt:

$\sgn \pi=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}{ \dfrac {\pi(i)-\pi(j)}{i-j}}$

Sei $\pi=(1423)$, dann ist $\sgn \pi=\dfrac {4-3}{1-2}\cdot\dfrac {4-1}{1-3}\cdot\dfrac {4-2}{1-4}\cdot\dfrac {3-1}{2-3}\cdot\dfrac {3-2}{2-4}\cdot\dfrac {1-2}{3-4}$ $=\uminus 1\cdot\braceNT{ \uminus\dfrac 3 { 2}}\cdot\braceNT{ \uminus\dfrac 2 3}\cdot\braceNT{ \uminus 2}\cdot\braceNT{ \uminus\dfrac 1 2}\cdot 1=\uminus 1$