Spektralradius

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen

Der Spektralradius einer n×nn \times n-Matrix A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n} ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von AA, das heißt
ρ(A):=max⁡i∣λi(A)∣\rho(A) := \max \limits_{i} |\lambda_i(A)|.
Dabei durchläuft λi\lambda_i die höchstens nn verschiedenen Eigenwerte von AA.
Jede induzierte Matrixnorm von AA ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich λ\lambda ein Eigenwert zu einem Eigenvektor vv von AA, dann gilt
∥A∥=sup⁡x≠0∥Ax∥∥x∥≥∥Av∥∥v∥=∥λv∥∥v∥=∣λ∣∥v∥∥v∥=∣λ∣\|A\| = \sup_{x \neq 0} \dfrac{\|Ax\|}{\|x\|} \geq \dfrac{\|Av\|}{\|v\|} = \dfrac{\|\lambda v\|}{\|v\|} = |\lambda| \dfrac{\|v\|}{\|v\|} = |\lambda|.
Genauer gibt es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 eine von AA abhängige Matrixnorm, so dass
ρ(A)≤∥A∥<ρ(A)+ϵ\rho(A)\le\|A\|<\rho(A)+\epsilon
gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm
ρ(A)=lim⁡n→∞∥An∥n\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\sqrtN{n}{\|A^n\|}.

Anwendungen

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls ρ(I−B−1A)<1\rho(I-B^{-1}A) < 1, dann konvergiert die Iteration
xk+1=B−1(B−A)xk+B−1bx_{k+1} = B^{-1}(B-A)x_k+B^{-1}b
für jeden Startvektor x0x_{0} gegen die exakte Lösung x∗x^{*} des linearen Gleichungssystems Ax=bAx=b.

Spektralradius in der Funktionalanalysis

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator AA definiert man
ρ(A):=sup⁡{∣λ∣:λ∈σ(A)}\rho(A) := \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(A)\},
wobei σ(A)\sigma(A) das Spektrum von AA ist. Man kann zeigen, dass das Supremum angenommen wird, also ein Maximum vorliegt. Man kann auch hier zeigen, dass
ρ(A)=lim⁡n→∞∥An∥n\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\sqrtN{n}{\|A^n\|}
gilt.
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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