Splitting-Verfahren

In der numerischen Mathematik sind Splitting-Verfahren iterative Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme \(\displaystyle Ax=b\) mit einer Matrix \(\displaystyle A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) und rechter Seite \(\displaystyle b\in\mathbb{C}^n\, \) Im Unterschied zu direkten Verfahren nähert man sich dabei ausgehend von einer Startnäherung schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.
 
 

Beschreibung

Das Verfahren ergibt sich über ein Splitting der Systemmatrix \(\displaystyle A = B + (A-B)\) mit einer invertierbaren Matrix \(\displaystyle B\in\mathbb{C}^{n\times n}\).
\(\displaystyle Ax=b \Leftrightarrow B^{-1}(B + (A-B))x=B^{-1}b\, \)
Daraus erhält man die Fixpunktgleichung
\(\displaystyle x = B^{-1}(B-A)x + B^{-1}b\).
Mit \(\displaystyle M = B^{-1}(B-A)\) ergibt sich die Fixpunktiteration
  1. Wähle einen Startvektor \(\displaystyle x_0\in\mathbb{C}^n\)
  2. Setze \(\displaystyle x_k=Mx_{k-1}+B^{-1}b = (I - B^{-1}A)x_{k-1} + B^{-1}b\)
Man kann die Iteration abbrechen, falls die Norm des Residuums \(\displaystyle r_k=b-Ax_k\) eine vorgegebene Fehlerschranke unterschreitet. Das Verfahren konvergiert genau dann, wenn der Spektralradius der Matrix \(\displaystyle M\) kleiner \(\displaystyle 1\) ist. Mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes folgt ferner die lineare Konvergenzgeschwindigkeit der gesamten Verfahrensklasse. Je kleiner der Spektralradius ist, umso schneller konvergiert das Verfahren. Falls sich \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle A\) nur wenig unterscheiden kann man mit dem Störungslemma zeigen, dass auch der Spektralradius von \(\displaystyle M\) klein ist. Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz (\(\displaystyle B\) approximiert \(\displaystyle A\) sehr gut) zu geringen Kosten pro Iteration (\(\displaystyle B\) ist einfach invertierbar). Insgesamt sind diese Verfahren für viele praktische Probleme zu langsam. Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute Vorkonditionierer dar. Darüberhinaus sind viele Splitting-Verfahren als Glätter in einem Mehrgitterverfahren geeignet.

Beispiele

Modifikationen

Man unterscheidet stationären Verfahren - in dem Fall ist die Iterationsmatrix konstant und instationäre Verfahren - hier dürfen die Matrizen \(\displaystyle M\) vom Index \(\displaystyle i\) abhängen. \(\displaystyle \tau\in\mathbb{R}\) ist ein Regularisierungsparameter der vom konkreten Problem und vom Verfahren abhängt.

Literatur

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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