Konsistenz numerischer Verfahren

Die Konsistenz eines numerischen Verfahrens bedeutet, dass der Algorithmus in einer gewissen grundlegenden Weise tatsächlich das gegebene Problem löst und nicht ein anderes. Die drei in der Numerik entscheidenden Fehlerbewertungsmechanismen sind Kondition, Stabilität und Konsistenz. Alle drei Größen analysieren die Entstehung von Fehlern, unterscheiden sich aber in der "Auswahl" der Fehlerquellen. Die Konditionsbewertung geht davon aus, dass der Algorithmus genau funktioniert, jedoch die Eingabedaten gestört sind. Die Stabilität vergleicht das Ergebnis des numerischen Verfahrens mit dem des exakten Verfahrens unter gestörten Eingabedaten.
Die Konsistenz beschäftigt sich nun mit der Frage was passiert, wenn die exakte Lösung im numerischen Verfahren verarbeitet wird. Die aufgeführten Beispiele sind numerische Differentiation oder Lösung eines Anfangswertproblems. Hier wird der entstehende Fehler in Abhängigkeit eines gewählten Gitters oder einer gewählten Schrittweite betrachtet.
 
 

Definition

Gegeben sei ein kontinuierliches Problem und die exakte Lösung \(\displaystyle u(t)\) sowie die numerische Lösung \(\displaystyle u_h(t)\) zu einer Schrittweite \(\displaystyle h > 0\). Das Verfahren heißt konsistent, falls es eine Funktion \(\displaystyle \sigma (h)\) mit \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \sigma (h) = 0\) gibt, so dass für den lokalen Fehler gilt (das Verfahren startet mit exakten Anfangsdaten):
\(\displaystyle \| u(t_h) - u_h(t_h) \| \leq \sigma(h) \ \forall t_h = nh \)
gilt. Es besitzt die Konsistenzordnung \(\displaystyle p \in \mathbb N\) falls \(\displaystyle \sigma(h) = \mathcal{O}(h^p)\).
Das bedeutet, dass man zu jedem Zeitpunkt (oder auch Ort) eine Fehlerbeschränkung in Abhängigkeit der gewählten Schrittweite hat. Es ist klar, dass in der Praxis Verfahren dieses Verhalten nur zeigen, wenn man eine hinreichend kleine Schrittweite wählt (vgl. Stabilität). Viele solcher Konsistenzabschätzungen werden mit Hilfe des Satzes von Taylor bewiesen, aus dem einfachen Grund, dass viele Verfahren die ersten Glieder der Taylorreihe (die Abhängig von einer Schrittweite \(\displaystyle h\) ist) entwickeln um ausgehend von der Lösung zum aktuellen Zeitpunkt die Lösung für den nächsten Zeitpunkt darzustellen:
\(\displaystyle f(x+h) = f(x) + h f'(x) + h^2 \dfrac{f( \xi )}{2} \).
Die Konstante \(\displaystyle c\) ist dann das Restglied \(\displaystyle f(\xi)\), bzw. eine Supremumsnormabschätzung.

Beispiele

Differentiation

Eine Möglichkeit, die Ableitung einer Funktion \(\displaystyle f\) in einem Punkt \(\displaystyle x\) zu errechnen, ist die Benutzung von Differenzenquotienten, sofern \(\displaystyle f\) hinreichend oft differenzierbar ist. Wir betrachten zwei Verfahren:
Den einfachen Differenzenquotienten
\(\displaystyle f'(x) \approx \over{{f(x+h)-f(x)}}{{h}}\)
und den zentralen Differenzenquotienten
\(\displaystyle f'(x) \approx \over{{f(x+h)-f(x-h)}}{{2h}}\, \)
Die Taylorentwicklungen
\(\displaystyle f(x + h) = f(x) + f'(x)h + \over{{f(\xi)h^2}}{{2}} \) bzw. \(\displaystyle f(x \pm h) = f(x) \pm f'(x)h + \over{{f(x)h^2}}{{2}} \pm \over{{f( \xi )h^3}}{{6}}\)
liefern dann für den einfachen Differenzenquotienten
\(\displaystyle \over{{f(x+h)-f(x)}}{{h}} = f'(x)+ \over{{f( \xi )}}{{2}} h\).
bzw. für den zentralen Differenzenquotienten
\(\displaystyle \over{{f(x+h)-f(x-h)}}{{2h}} = f'(x)+\over{{f( \xi_1 ) + f(\xi_2)}}{{6}} h^2\, \)
Einsetzen und Subrahieren in der Norm liefert dann die Konsistenzordnung eins bzw. zwei: \(\displaystyle O(h)\) bzw. \(\displaystyle O(h^2)\). Man erkennt, dass man mit ähnlichem Rechenaufwand (je zwei Funktionsauswertungen und im Wesentlichen eine Division) mittels des zentralen Differenzenquotienten eine höhere Konsistenzordnung erreicht.

Eulerverfahren

Zum diskreten Lösen eines Anfangswertproblemes verwendet man Verfahren, ähnlich dem expliziten Eulerverfahren (Euler'sches Polygonzugverfahren). Dies bedeutet, dass für das Problem:
Gesucht ist \(\displaystyle u(t) \) mit
\(\displaystyle u'(t) = f(t, u(t)) \!\) mit \(\displaystyle u(t_0) = u_0 \).
Das explizite Eulerverfahren wird angewandt mittels
\(\displaystyle u_h(t+\tau) = u_h(t) + \tau f(t, u_h(t)) \) mit \(\displaystyle u_h(t_0) = u_0 \).
Man kann auch hier mit der Taylorentwicklung die Konsistenz von \(\displaystyle O(\tau)\) zeigen.

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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