Stabilität numerischer Verfahren

Ein numerisches Verfahren heißt stabil, wenn es gegenüber kleinen Störungen der Daten unempfindlich ist. Insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler nicht zu stark auf die Berechnung auswirken.
Man unterscheidet zwischen drei Größen eines Verfahrens: Kondition, Stabilität und Konsistenz, die untereinander stark verwandt sind. Die Beziehung zwischen Kondition eines Problems und Stabilität lässt sich wie folgt beschreiben:
Es sei \(\displaystyle f(x)\) das mathematische Problem in Abhängigkeit der Eingabe \(\displaystyle x\) und es sei \(\displaystyle \tilde f\) der Numerische Algorithmus, sowie \(\displaystyle \tilde x\) die gestörten Eingabedaten. So möchte man den folgenden Fehler abschätzen:
\(\displaystyle \|f(x) - \tilde f(\tilde x)\|\).
Mit der Dreiecksungleichung gilt:
\(\displaystyle \|f(x) - \tilde f(\tilde x)\| = \|f(x) - f(\tilde x) + f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x)\| \leq \|f(x) - f(\tilde x)\| + \|f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x)\|\).
Hierbei bezeichnet man mit \(\displaystyle \|f(x) - f(\tilde x)\|\) die Kondition des Problems und \(\displaystyle \|f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x)\|\) die Stabilität.
Also beschreibt die Stabilität die Robustheit des numerischen Verfahrens gegenüber Störungen in den Eingabedaten, insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler nicht summieren und zu Störungen in der Lösung führen. Die Quantifizierung des Begriffes ist jedoch nach Problem und verwendeter Norm unterschiedlich.
Stabilität ist eine Eigenschaft des Algorithmus und die Kondition eine Eigenschaft des Problems.
 
 

Die beiden Analyseverfahren

Vorwärtsanalyse

Ein Verfahren heißt stabil, wenn es eine Konstante \(\displaystyle \sigma \in \mathbb{R}\) gibt, so dass gilt:
\(\displaystyle \|f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x) \| \leq \kappa\sigma \varepsilon\)
wobei \(\displaystyle \kappa \) die relative Kondition des Problems und \(\displaystyle \varepsilon \) die Maschinengenauigkeit bezeichnet. \(\displaystyle \sigma \) quantifiziert die Stabilität im Sinne der Vorwärtsanalyse.
Das zweite gängige Analyseverfahren ist das der Rückwärtsanalyse:

Rückwärtsanalyse

Gibt es für alle \(\displaystyle \tilde x \) ein \(\displaystyle \eta \ge 0\) mit \(\displaystyle \|f(\hat x) - f(\tilde x)\| \le \eta \) mit \(\displaystyle \hat x = \mathrm{argmin}{\|f(x)-\tilde f(\tilde x)\|}\), so ist \(\displaystyle \eta \) die Stabilitätskonstante der Rückwärtsanalyse.
Man kann zeigen, dass Rückwärtsstabilität die Vorwärtsstabilität impliziert.

"Hauptsatz der Numerik"

Es gilt der Äquivalenzsatz von Lax: Aus der numerischen Stabilität und der Konsistenz des Verfahrens folgt die Konvergenz der (numerischen) Lösung gegen die analytische.

Anwendungen

Addition

Da man zeigen kann, dass die relative Kondition der Addition bei zwei Zahlen im Falle der Auslöschung (Ergebnis ist nah an 0) beliebig schlecht sein kann, folgt aus der Definition der Vorwärtsanalyse, dass die Addition als numerisches Verfahren (im Computer) stabil ist.

Differentialgleichungen

Bei numerischen Lösern für Differentialgleichungen mit Anfangs- oder Randwerten, bzw. mit rechter Seite \(\displaystyle f \) versucht man eine Abschätzung der entwickelten Lösung von diesen Eingabegrößen zu erhalten. Im Sinne der Vorwärtsanalyse gibt es in diesem Fall die Konstante \(\displaystyle \sigma \).

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zu konkreten Verfahren wird das Stabilitätsgebiet definiert als die Menge der komplexen Zahlen \(\displaystyle \xi=\Delta t \cdot \lambda\) für die das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung
\(\displaystyle y'=\lambda y, \quad y(0)=y_0\)
bei fester Schrittweite \(\displaystyle \Delta t\) eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert.
Der beste Fall ist, wenn das Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene enthält, dann heißt das Verfahren A-stabil.

Partielle Differentialgleichungen

Das Standardverfahren zur Stabilitätsanalyse von numerischen Verfahren für partielle Differentialgleichungen ist die Von-Neumann-Stabilitätsanalyse, die für lineare Probleme notwendige und hinreichende Aussagen macht, für nichtlineare Probleme jedoch nur notwendige.
siehe auch: Stabilitätstheorie

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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