Kondition in der Numerik

In der numerischen Mathematik beschreibt man mit der Kondition die Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Die Konditionszahl stellt ein Maß für diese Abhängigkeit dar; sie beschreibt den Faktor, um den Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt werden. Sie ist unabhängig von konkreten Lösungsverfahren.

Einleitung

In der Numerik unterscheidet man zwischen den drei Größen eines Verfahrens: Kondition, Stabilität und Konsistenz, die untereinander stark verwandt sind. Die Beziehung zwischen Kondition eines Problems und Stabilität lässt sich wie folgt modellieren:
Es sei \(\displaystyle f : \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m \) das mathematische Problem in Abhängigkeit der Eingabe \(\displaystyle x\) und es sei \(\displaystyle \tilde f\) der numerische Algorithmus, sowie \(\displaystyle \tilde x\) die gestörten Eingabedaten. So möchte man den folgenden Fehler abschätzen:
\(\displaystyle \|f(x) - \tilde f(\tilde x)\|\).
Mit der Dreiecksungleichung gilt:
\(\displaystyle \|f(x) - \tilde f(\tilde x)\| = \|f(x) - f(\tilde x) + f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x)\| \leq \|f(x) - f(\tilde x)\| + \|f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x)\|\)
Hierbei bezeichnet man mit \(\displaystyle \|f(x) - f(\tilde x)\|\) die Kondition des Problems und \(\displaystyle \|f(\tilde x) - \tilde f(\tilde x)\|\) die Stabilität. Man spricht dann davon, dass Kondition die Eigenschaft des Problems und Stabilität die Eigenschaft des Algorithmus ist.
 
 

Absolute Kondition

Die absolute Kondition \(\displaystyle \kappa_{abs}\) ist definiert als \(\displaystyle \limsup_{x \to x_0} \dfrac{||f(x)-f(x_0)||}{||x - x_0||}\).
\(\displaystyle \kappa_{abs}\) ist also genau die kleinste Zahl, für die gilt: \(\displaystyle \exists \delta > 0 \text{ }\forall ||x - x_0|| < \delta : \qquad ||f(x)-f(x_0)|| \leq \kappa_{abs} ||x - x_0||\)

Relative Kondition

Die relative Kondition wird definiert als kleinste Zahl \(\displaystyle \kappa_{rel} \geq 0\)
\(\displaystyle \exists \delta > 0 \text{ } \forall \text{ } 0 < \epsilon < \delta: \)\(\displaystyle \qquad \over{{\|f(x)-f(x+\epsilon)\|} }{ {\|f(x)\|}} \leq \kappa_{rel} \over{{\|\epsilon\|} }{ {\|x\|}}\)
Aus der Definition folgt mit Umstellen sofort, dass für eine in \(\displaystyle x\) differenzierbare Funktion \(\displaystyle \kappa_{rel}\) gegeben ist durch
\(\displaystyle \over{{\left||\over{{d}}{{dx}}f(x)\right|| \|x\|}}{{\|f(x)\|}} = \kappa_{rel}\).

Herleitung der relativen Konditionszahl aus der Taylor-Reihe

Lässt man in der Taylorreihe Terme höherer Ordnung unberücksichtigt, so ergibt sich
\(\displaystyle f(\tilde x) = f(x) + f'(x)(\tilde x - x)\),
folglich
\(\displaystyle f(\tilde x) - f(x) = f'(x)(\tilde x - x)\)
Hierbei stellt \(\displaystyle f(\tilde x) - f(x)\) den absoluten Fehler in der Ausgabe dar. Durch Division durch \(\displaystyle f (x) \) ergibt sich sofort der relative Ausgabefehler:
\(\displaystyle \dfrac{f(\tilde x) - f(x)}{f(x)} = \dfrac{f'(x)}{f(x)}(\tilde x - x)\)
Um den relativen Fehler in der Eingabe auf der rechten Seite sichtbar zu machen, wird nun noch mit \(\displaystyle x\) erweitert:
\(\displaystyle \left|| \dfrac{f(\tilde x) - f(x)}{f(x)}\right|| = \left|| \dfrac{f'(x)}{f(x)} x \right|| \cdot \left|| \dfrac{(\tilde x - x)}{x} \right||\)
Somit ist alleine aus der Taylorreihe ersichtlich, dass die Fehlerverstärkung durch
\(\displaystyle \kappa _{rel} = \left||\dfrac{f'(x)}{f(x)} x\right||\)
in guter Näherung (Terme höherer Ordnung wurden vernachlässigt!) beschrieben ist.

Kondition von Linearen Abbildungen

Die Kondition von linearen Abbildungen lässt sich mithilfe der relativen Kondition herleiten. Setzt man für \(\displaystyle f(x)\) in obiger Definition die Funktion \(\displaystyle f(x) = Ax\) ein, so gilt:
\(\displaystyle \dfrac{\|Ax-A\tilde x\|}{\|Ax\|} \leq \dfrac{\max_{\|x\|=1}\|Ax\|}{\min_{\|x\|=1}\|Ax\|} \cdot \dfrac{ \|x-\tilde x\|}{\|x\|}\)
so ist die Kondition von Matrizen die größtmögliche Verzerrung der Einheitskugel:
\(\displaystyle \kappa(A) = \over{{{\max_{\|x\|=1}}\|Ax\|}}{{{\min_{\|x\|=1}}\|Ax\|}}\).
Ist der Kern der Matrix nicht trivial, gibt es also Vektoren, die nicht 0 sind und auf die Null abgebildet werden, dann ist \(\displaystyle \kappa = \infty \). Umgekehrt kann man zeigen, dass für reguläre Matrizen gilt:
\(\displaystyle \kappa(A) = \|A\| \|A^{-1}\|\).

Interpretation

Ist die Konditionszahl \(\displaystyle \kappa\) deutlich größer als 1 spricht man von einem schlecht konditionierten Problem, sonst von einem gut konditionierten Problem und ist die Konditionszahl unendlich, so handelt es sich um ein schlecht gestelltes Problem.
Die Bedeutung der Kondition wird offensichtlich, wenn man sich den Unterschied zwischen den realen Eingangsdaten (beispielsweise reelle Zahlen) und den tatsächlichen Eingangsdaten in Form von Maschinenzahlen klar macht. Es liegen also einem Computerprogramm stets bereits verfälschte Daten vor. Das Computerprogramm sollte nun ein brauchbares Ergebnis liefern. Wenn aber das Problem bereits schlecht konditioniert ist, darf man keine Wunder mehr vom Algorithmus erwarten.

Beispiele

Multiplikation

Multiplikation: \(\displaystyle x_1 \cdot x_2\)
Die Multiplikation ist eine Abbildung \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) gegeben durch \(\displaystyle f(a,b)=a \cdot b\). Die partiellen Ableitungen nach \(\displaystyle a, b\) führen zu \(\displaystyle \dfrac{ df }{d(a,b)}=(b,a)\). Damit ergibt sich für die Kondition der Multiplikation nach obiger Formel
\(\displaystyle \kappa_{1,{\rm {relativ}}} := \left|\dfrac{f'(a,b) \cdot (a,b)^T}{f(a,b)}\right| = \left|\dfrac{b a + a b}{a b}\right| = 2 \).
Die Multiplikation kann als gut konditioniert angesehen werden.

Addition

Addition: \(\displaystyle x_1 + x_2\)
\(\displaystyle \kappa_{1,{\rm relativ}} := \dfrac{\left|x_1 \right|+ \left|x_2\right|}{\left|x_1 + x_2\right|}\)
Die Addition ist daher für \(\displaystyle x_1 + x_2 \approx 0\), die Subtraktion entsprechend im Fall \(\displaystyle x_1 \approx x_2\), sehr schlecht konditioniert. In diesem Fall spricht man von Auslöschung.

Numerische Aspekte

Eines der Aufgabengebiete der Numerik ist die Untersuchung und Optimierung der Kondition für gegebene Probleme wie das Lösen von Gleichungssystemen. Bei der numerischen Lösung wird nun ein Problem in Teilprobleme zerlegt. Oft kann ein in schlecht konditionierte Probleme zerlegter Lösungsweg so durch eine geschicktere Zerlegung ersetzt werden, dass sich die Gesamt-Kondition entscheidend verbessert. So erreicht man bei Matrizen durch geschickte Zeilenvertauschung eine bessere Gesamt-Kondition (hierbei wird die Kondition der Matrix an sich nicht verändert); bei längeren Berechnungen versucht man Additionen sehr kleiner Zahlen oder Subtraktionen annähernd gleich großer Zahlen zur Vermeidung von Auslöschung zu umgehen.
Die äquivalente Umformulierung eines Problems mit dem Ziel der Konditionsverbesserung nennt man Vorkonditionierung.

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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