Fixpunktiteration

Die Fixpunktiteration ist ein in der Mathematik gebräuchliches iteratives Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen einer Funktion \(\displaystyle f\) auf einem bestimmten Intervall \(\displaystyle [a,b]\).

Allgemein

Jedes Fixpunktverfahren hat die Form
\(\displaystyle x_{k+1} = \varphi(x_k)\), \(\displaystyle k = 0, 1, \dots\)
Mit jeder weiteren Iteration nähert sich \(\displaystyle x_{k+1}\) der exakten Lösung \(\displaystyle x^{*}\) an. Das Ziel ist, die Iterationsvorschrift \(\displaystyle \varphi\) so zu konstruieren, dass sie genau einen Fixpunkt \(\displaystyle x^{*}\) besitzt, dass also schließlich gilt:
\(\displaystyle x^* = \varphi(x^*)\).
Die Konvergenz von Fixpunktiterationen wird mittels des banachschen Fixpunktsatzes untersucht.
 
 

Lineare Fixpunktverfahren

Konstruktionsidee

Eine wichtige Art der Fixpunktiteration sind die Splitting-Verfahren. Für Fixpunkt-Probleme der Art \(\displaystyle Ax = b\), wobei \(\displaystyle A\) eine nicht-singuläre quadratische Matrix und \(\displaystyle b\) ein Vektor ist, zerlegt man die Matrix \(\displaystyle A\) mit Hilfe einer nicht-singulären \(\displaystyle n\cross n\)-Matrix \(\displaystyle B\) in
\(\displaystyle A = B + (A - B)\)
und erhält so eine Fixpunktgleichung.
Damit folgt
\(\displaystyle Ax = b\)
\(\displaystyle (B + (A - B))x = b\)
\(\displaystyle Bx + (A - B)x = b\)
\(\displaystyle \Rightarrow x = B^{-1}b - B^{-1}(A-B)x = (E - B^{-1}A)x + B^{-1}b\); \(\displaystyle E\) ist die Einheitsmatrix.
Jetzt ist das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax = b\) äquivalent zu der Fixpunktaufgabe
\(\displaystyle x = (E - B^{-1}A)x + B^{-1}b = \varphi(x)\).
Man erhält für den vorgegebenen Startvektor \(\displaystyle x_{0}\) folgendes Iterationsverfahren
\(\displaystyle x_{k+1} = (E - B^{-1}A)x_k + B^{-1}b,\, k\) = 0, 1, ...
und die zugehörige Iterationsmatrix lautet: \(\displaystyle E - B^{-1} A\).

Konvergenz

Aus dem banachschen Fixpunktsatz und weiteren Überlegungen folgt dann, dass diese Fixpunktverfahren genau dann für jeden Startvektor \(\displaystyle x_{0}\) konvergieren, falls der Spektralradius der Iterationsmatrix
\(\displaystyle \rho(E - B^{-1}A) = \max_i|\lambda_i(E - B^{-1}A)| < 1\).
\(\displaystyle \rho(E - B^{-1}A)\) sollte möglichst klein sein, da dadurch die Konvergenzgeschwindigkeit bestimmt wird.

Spezielle Verfahren

Auf obiger Konstruktionsidee basieren folgende bekannte Verfahren:

Bemerkungen

Iterationsverfahren der Form \(\displaystyle x_{k+1} = Mx_k + v\), \(\displaystyle k = 0, 1\), ... sind
  • linear, d.h. \(\displaystyle x_{k+1}\) hängt linear nur von \(\displaystyle x_{k}\) ab,
  • stationär, d.h. M und v sind unabhängig von der Schrittnummer der Iteration,
  • einstufig, d.h. nur der letzte und nicht noch weitere Näherungsvektoren werden verwendet.

Nichtlineare Gleichungen

Das Newton-Verfahren kann als Fixpunktiteration betrachtet werden. Allgemein wird die Konvergenz mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes sichergestellt, die betrachtete Funktion muss also insbesondere im betrachteten Gebiet eine Kontraktion sein.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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