Regula Falsi

Das Regula-Falsi-Verfahren (lat. "Regel des falschen Ansatzes") ist eine Methode zum numerischen Berechnen von Nullstellen. Es kombiniert Methoden vom Sekantenverfahren und der Bisektion.

Das Verfahren (Primitivform)

Regula_falsi.png
Visualisierung der Regula falsi
Das Regula-falsi-Verfahren startet mit zwei Stellen (in der Nähe der Nullstelle) \(\displaystyle a_{0}\) und \(\displaystyle b_{0}\) deren Funktionsauswertungen \(\displaystyle f (a_{0}) \), \(\displaystyle f (b_{0}) \) unterschiedliches Vorzeichen haben. In dem Intervall \(\displaystyle [a,b]\) sollte sich (für stetiges \(\displaystyle f\)) also eine Nullstelle befinden. Nun verkleinert man in mehreren Iterationschritten das Intervall und bekommt so eine immer genauere Näherung für die Nullstelle.
 
 

Iterationsvorschrift

In Schritt k berechnet man
\(\displaystyle c_k =a_{k-1} - \dfrac{b_{k-1}-a_{k-1}}{f(b_{k-1})-f(a_{k-1})} f(a_{k-1})\)
Nun wählt man \(\displaystyle a_{k},\, b_{k}\) folgendermaßen:
  • \(\displaystyle a_k=c_k,\ b_k=b_{k-1}\) falls \(\displaystyle f(a_{k-1})\) und \(\displaystyle f(c_{k})\) gleiches Vorzeichen haben
  • \(\displaystyle a_k=a_{k-1},\ b_k=c_k\) falls \(\displaystyle f(b_{k-1})\) und \(\displaystyle f(c_{k})\) gleiches Vorzeichen haben

Bemerkungen

  • Die Berechnung des \(\displaystyle c_{k}\) entspricht dem Anwenden des Sekantenverfahrens mit einer Iteration im \(\displaystyle (k-1)\)-ten Intervall. Im Gegensatz zum Sekantenverfahren befindet sich in diesem Intervall aber stets eine Nullstelle.
  • Geometrisch kann man \(\displaystyle c_k\) als die Nullstelle der Sekante durch \(\displaystyle \left(a_{k-1}, f(a_{k-1})\right)\) und \(\displaystyle \left(b_{k-1}, f(b_{k-1})\right)\) deuten.
  • \(\displaystyle c_k\) liegt natürlich immer im Intervall \(\displaystyle \left[a_{k-1}, b_{k-1}\right]\).

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Regula Falsi aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе