Betrags- und Signumsfunktion

Betragsfunktion

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Betragsfunktion
Die Betragsfunktion y=∣x∣y=|x| ordnet jeder reellen Zahl ihren Absolutbetrag zu und ist für alle reelle Zahlen definiert. Sie nimmt nur Werte aus dem Intervall [0,∞][0,\infty] an.
Sie ist wegen ∣x∣=∣−x∣|x|=|-x| eine gerade Funktion.
An der Stelle x=0x=0 besitzt sie ein Minimum. Sie ist für x≤0x\leq 0 monoton fallend und für x≥0x\geq 0 monoton wachsend.
Die Betragsfunktion ist an der Stelle x=0x=0 nicht differenzierbar. (Beispiel 166A)
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Signumsfunktion

Die Signumsfunktion y=sgn⁡xy=\sgn x ordnet jeder Zahl ihr Signum zu. Sie ist ungerade.
An der Stelle x=0x=0 ist die Signumsfunktion nicht stetig, also auch nicht differenzierbar. Für x∈R∖{0}x\in\R\setminus \{0 \} gilt d⁡d⁡x∣x∣=sgn⁡x\dfrac \d {\d x} |x| = \sgn x, man kann also die Signumsfunktion als Ableitung der Betragsfunktion auffassen.
 
 

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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