Horner-Schema

Beim Horner Schema (oder auch Hornerverfahren) handelt es sich um eine effiziente Methode zur Berechnung von Polynomwerten. Geht man von der Definition des Polynoms
p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxnp(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n(1)
aus, so müssen zu Berechnung einzelner Werte jeweils die nn-ten Potenzen berechnet werden. Dies ist aufwändig und numerisch instabil. Beim Hornerschema werden nun die xx sukzessive ausgeklammert. Das Polynom (1) lässt sich dann in der Form
p(x)=a0+x(a1+x(a2+…+anx)…))p(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+\ldots+a_nx)\ldots))
darstellen.
Bei der Berechnung von Funktionswerten sind nun also keine Potenzoperationen mehr notwendig, sondern nur noch Additionen und maximal nn Multiplikationen.
 
 

Beispiel

Sei p(x)=x5+2x4−x3+3x2−5x+3p(x)=x^5+2x^4-x^3+3x^2-5x+3 gegeben. Nach dem Horner-Schema formen wir das Polynom zu
p(x)=3+x(−5+x(3+x(−1+x(2+x))))p(x)=3+x(\uminus 5+x(3+x(\me+x(2+x))))
um.
Den Funktionswert an der Stelle x=2x=2 berechnen wir nun einfach, indem wir von innen nach außen vorgehen:
p(2)=3+2⋅(−5+2⋅(3+2⋅(−1+2⋅(2+2))))p(2)=3+2\cdot(\uminus 5+2\cdot(3+2\cdot(\me+2\cdot(2+2)))) =3+2⋅(−5+2⋅(3+2⋅(−1+8)))=3+2\cdot(\uminus 5+2\cdot(3+2\cdot(\me+8))) =3+2⋅(−5+2⋅(3+14))=3+2\cdot(\uminus 5+2\cdot(3+14)) =3+2⋅(−5+34)=61=3+2\cdot(\uminus 5+34)=61
.

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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