Horner-Schema

Beim Horner Schema (oder auch Hornerverfahren) handelt es sich um eine effiziente Methode zur Berechnung von Polynomwerten. Geht man von der Definition des Polynoms
(1)
\(\displaystyle p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n\)
aus, so müssen zu Berechnung einzelner Werte jeweils die \(\displaystyle n\)-ten Potenzen berechnet werden. Dies ist aufwändig und numerisch instabil. Beim Hornerschema werden nun die \(\displaystyle x\) sukzessive ausgeklammert. Das Polynom (1) lässt sich dann in der Form
\(\displaystyle p(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+\ldots+a_nx)\ldots))\)
darstellen.
Bei der Berechnung von Funktionswerten sind nun also keine Potenzoperationen mehr notwendig, sondern nur noch Additionen und maximal \(\displaystyle n\) Multiplikationen.
 
 

Beispiel

Sei \(\displaystyle p(x)=x^5+2x^4-x^3+3x^2-5x+3\) gegeben. Nach dem Horner-Schema formen wir das Polynom zu
\(\displaystyle p(x)=3+x(\uminus 5+x(3+x(\me+x(2+x))))\)
um.
Den Funktionswert an der Stelle \(\displaystyle x=2\) berechnen wir nun einfach, indem wir von innen nach außen vorgehen:
\(\displaystyle p(2)=3+2\cdot(\uminus 5+2\cdot(3+2\cdot(\me+2\cdot(2+2))))\) \(\displaystyle =3+2\cdot(\uminus 5+2\cdot(3+2\cdot(\me+8)))\) \(\displaystyle =3+2\cdot(\uminus 5+2\cdot(3+14))\) \(\displaystyle =3+2\cdot(\uminus 5+34)=61\)
.

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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