Wertebereich und Verhalten im Unendlichen von Polynomen

Ein Polynom f(x)=∑i=0naixi=a0+a1x+a2x2+…+anxnf(x)=\sum\limits_{i=0}^n {a_ix^i}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n ist stets auf ganz R\R definiert.

Wertebereich

Reelle Polynome ungeraden Grades haben ganz R\R als Wertebereich, sie sind also surjektiv.
Reelle Polynome geraden Grades haben einen Wertebereich von
  1. [ymin, ∞[ \left[y_\mathrm{min},\,\infty\right[ bei positivem Leitkoeffizienten ana_n bzw.
  2. ]−∞, ymax] \left]-\infty,\,y_\mathrm{max}\right] bei negativem ana_n.
 
 

Verhalten im Unendlichen

Das Verhältnis im Unendlichen wird durch das Vorzeichen des Leitkoeffizienten und davon ob der Grad gerade oder ungerade ist, bestimmt.
Grad ana_n lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x) lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x)
gerade >0>0 ∞\infty ∞\infty 
gerade <0<0 −∞-\infty −∞-\infty 
ungerade >0>0 ∞\infty −∞-\infty 
ungerade <0<0 −∞-\infty ∞\infty 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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