Division von Polynomen

Mit Polynomen kann man zum Teil wie mit Zahlen rechnen. Die Summe und das Produkt zweier Polynomen sind wieder Polynome. Algebraisch gesehen bilden die Polynome eine Ring, den Polynomring. Dieser Ring ist sogar frei von Nullteilern also ein Integritätsbereich, allerdings kein Körper, da die Division zweier Polynome im Allgemeinen eine rationale Funktion ergibt, die kein Polynom zu sein braucht.

Die Division zweier Polynome ist wie bei den ganzen Zahlen nur mit Rest möglich.

Sind und zwei Polynome.

Im Fall $n<m$ entspricht $p(x)$ dem Rest und die Division ist zu Ende.

Für $n\geq m$ kann man folgenden Divisionsschritt durchführen:

Bei $p'(x)$ handelt es sich wieder um ein Polynom, dessen Grad jedoch kleiner als $n$ ist. Ist sein Grad weiterhin größer als $m$ kann man den Divisionsschritt nochmals durchführen, solange bis der Grad der entstehenden Polynome unter $m$ fällt.

Seien $p(x)=x^4-2x^3+x^2+3$ und $q(x)=x^2+1$.

Unser erstes Teilergebnis ist $x^2=x^4/x^2$ und das Restpolynom ist $p(x)-q(x)\cdot x^2=x^4-2x^3+x^2+3-x^4-x^2=-2x^3+3$

Da der Grad größer als $2$ ist, wird der Schritt nochmals durchgeführt.

Das Teilergebnis ist diesmal: $-2x^3/x^2=-2x$ und das Restpolynom wird zu $2x+3$. Damit ist der Prozess zu Ende und wir können das Ergebnis zusammenfassen: