Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern

Unendliche Reihen werden analog wie im Reellen definiert. Sei (zn)(z_n) eine Folge in C\C. Sei sn:=∑k=1nzks_n := \sum\limits\limits_{k=1}^n z_k (n∈N n \in \N) die Folge der Partialsummen.

Definition

∑n=1∞ \sum\limits_{n=1}^\infty konvergiert ⇔ \Leftrightarrow es existiert ein w∈Cw \in \C mit sn→w  (n→∞)s_n \to w \;(n \to \infty), wenn also wie im Reellen die Folge der Partialsummen konvergiert. Nach Satz 16K2 gilt dann ∑n=1∞ℜzn \sum\limits_{n=1}^\infty \Re z_n und ∑n=1∞ℑzn \sum\limits_{n=1}^\infty \Im z_n konvergieren und w=∑n=1∞zn=∑n=1∞ℜzn+∑n=1∞ℑzn w = \sum\limits_{n=1}^\infty z_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \Re z_n + \sum\limits_{n=1}^\infty \Im z_n ist der Reihenwert.

Satz 16RA

Ist (zn)(z_n) eine Folge in C\C und ∑n=1∞∣zn∣\sum\limits\limits_{n=1}^\infty |z_n| konvergent, so konvergiert auch ∑n=1∞zn\sum\limits\limits_{n=1}^\infty z_n.

Beweis

Analog zum Satz 5410C für reelle Reihen führt man den Beweis mittels des Cauchykriteriums im Komplexen. □\qed
 
 

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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