Äußere binäre Verknüpfungen

Äußere binäre Verknüpfungen erster Art

Eine äußere binäre Verknüpfungen erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung f ⁣:O×AAf \colon O \times A \to A, die man Linksoperation von OO auf AA nennt, bzw. f ⁣:A×OAf\colon A \times O \to A, die man Rechtsoperation von OO auf AA nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge OO (welche die Operatoren beinhaltet) nicht notwendigerweise eine Teilmenge von AA ist, von außerhalb kommt. Man sagt dann OO operiert von links bzw. von rechts auf AA, und die Elemente von OO heißen Links- bzw. Rechtsoperatoren.
Bei multiplikativer Schreibweise schreibt man statt ofa,o\,f\,a, bzw. afoa\,f\,o auch kurz oaoa bzw. aoao; man spricht dann von der Operatorenschreibweise. Durch jeden Operator oOo \in O ist genau eine Abbildung τof ⁣:AA,aτof(a):=ofa,\tau_{of}\colon A \to A,\, a \mapsto \tau_{of}(a) := o\,f\,a, bzw. τfo ⁣:AA,aτfo(a):=afo,\tau_{fo}\colon A \to A,\, a \mapsto \tau_{fo}(a) := a\,f\,o, definiert, die auch die Transformation zu oo genannt wird. Zwischen dem Operator oo und der zugehörigen Transformation τof\tau_{of} bzw. τfo\tau_{fo} wird dabei in der Regel nicht unterschieden.

Beispiele

  • Bei einer Gruppenoperation  ⁣:G×XX\bullet \colon G \times X \to X ist GG eine Gruppe und XX eine Menge. Man fordert zusätzlich eine gewisse Verträglichkeit dieser Operation mit der Gruppenstruktur (G,)(G,\cdot), nämlich 1x=x1 \bullet x = x und g1(g2x)=(g1g2)xg_1 \bullet (g_2 \bullet x) = (g_1 \cdot g_2) \bullet x für alle g1,g2Gg_1,g_2 \in G und xXx \in X.
  • Bei der Skalarmultiplikation  ⁣:K×VV\bullet \colon K \times V \to V in der linearen Algebra ist der Operatorenbereich KK ein Körper, meist R\mathbb R oder C\mathbb C, und VV eine abelsche Gruppe, etwa Rn\mathbb R^n bzw. Cn\mathbb C^n. Man fordert zusätzlich die Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit den bereits gegebenen Strukturen (K,+,)(K,+,\cdot) und (V,+)(V,+). Ausgestattet mit der Operation \bullet wird VV zu einem Vektorraum über KK.

Bemerkung

Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z.B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen f ⁣:O×ABf \colon O \times A \to B bzw. f ⁣:A×OBf\colon A \times O \to B gebraucht. Hierbei sind A,BA, B Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation τof ⁣:AA\tau_{of}\colon A \to A bzw. τfo ⁣:AA\tau_{fo}\colon A \to A mit der Struktur auf AA und BB verträglich sein.

Äußere binäre Verknüpfungen zweiter Art

Eine äußere binäre Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung f ⁣:A×ABf \colon A \times A \to B, das heißt ff ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge AA, aber bezüglich dieser ist AA nicht abgeschlossen.

Beispiele

 
 

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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