Äußere binäre Verknüpfungen

Äußere binäre Verknüpfungen erster Art

Eine äußere binäre Verknüpfungen erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung

f \colon O \times A \to A

, die man Linksoperation von

O

auf

A

nennt, bzw.

f\colon A \times O \to A

, die man Rechtsoperation von

O

auf

A

nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge

O

(welche die Operatoren beinhaltet) nicht notwendigerweise eine Teilmenge von

A

ist, von außerhalb kommt. Man sagt dann

O

operiert von links bzw. von rechts auf

A

, und die Elemente von

O

heißen Links- bzw. Rechtsoperatoren.

Bei multiplikativer Schreibweise schreibt man statt

o\,f\,a,

bzw.

a\,f\,o

auch kurz

oa

bzw.

ao

; man spricht dann von der Operatorenschreibweise. Durch jeden Operator

o \in O

ist genau eine Abbildung

\tau_{of}\colon A \to A,\, a \mapsto \tau_{of}(a) := o\,f\,a,

bzw.

\tau_{fo}\colon A \to A,\, a \mapsto \tau_{fo}(a) := a\,f\,o,

definiert, die auch die Transformation zu

o

genannt wird. Zwischen dem Operator

o

und der zugehörigen Transformation

\tau_{of}

bzw.

\tau_{fo}

wird dabei in der Regel nicht unterschieden.

Beispiele

Bei einer Gruppenoperation $\bullet \colon G \times X \to X$ ist $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge. Man fordert zusätzlich eine gewisse Verträglichkeit dieser Operation mit der Gruppenstruktur $(G,\cdot)$ , nämlich $1 \bullet x = x$ und $g_1 \bullet (g_2 \bullet x) = (g_1 \cdot g_2) \bullet x$ für alle $g_1,g_2 \in G$ und $x \in X$ .
Bei der Skalarmultiplikation $\bullet \colon K \times V \to V$ in der linearen Algebra ist der Operatorenbereich $K$ ein Körper, meist $\mathbb R$ oder $\mathbb C$ , und $V$ eine abelsche Gruppe, etwa $\mathbb R^n$ bzw. $\mathbb C^n$ . Man fordert zusätzlich die Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit den bereits gegebenen Strukturen $(K,+,\cdot)$ und $(V,+)$ . Ausgestattet mit der Operation $\bullet$ wird $V$ zu einem Vektorraum über $K$ .

Bemerkung

Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z.B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen

f \colon O \times A \to B

bzw.

f\colon A \times O \to B

gebraucht. Hierbei sind

A, B

Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation

\tau_{of}\colon A \to A

bzw.

\tau_{fo}\colon A \to A

mit der Struktur auf

A

und

B

verträglich sein.

Äußere binäre Verknüpfungen zweiter Art

Eine äußere binäre Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung

f \colon A \times A \to B

, das heißt

f

ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge

A

, aber bezüglich dieser ist

A

nicht abgeschlossen.

Beispiele

Das Skalarprodukt in $\mathbb R^n$ ordnet je zwei Vektoren aus $\mathbb R^n$ eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
Ist $A$ ein affiner Raum über einem Vektorraum $V$ , so ist $A \times A \to V$ mit $(P,Q)\mapsto\overrightarrow{PQ}$ eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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