Null hoch Null

In der Definition der Potenz wurde $a^0=1$ für alle $a$ gesetzt, also ist insbesondere

Da $0^x$ für alle positiven $x$ den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Wie die Festlegung, dass $1$ keine Primzahl ist, ist die Festlegung des Wertes von $0^0$ ebenfalls keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig.

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend $0^0=1$ gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Cauchy^[1] listete allerdings $0^0$ gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie $0/0$ in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. Er wollte damit anscheinend darauf hinweisen, dass man zu jeder reellen Zahl $w\ge 0$ Funktionen $f,g$ so angeben kann, dass $f(a)=g(a)=0$ und

Grenzwertargumente sind zur Festlegung von $0^0$ also ungeeignet.

1833 veröffentlichte Libri^[2] eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für $0^0=1$ präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte Möbius^[3] einen Beweis seines Lehrers Johann Pfaff^[4], der im Wesentlichen zeigte, dass $\lim_{x\to 0+} x^x = 1$, und einen angeblichen Beweis für $\lim_{x\to 0+} f(x)^{g(x)} = 1$ falls $\lim_{x\to 0+} f(x)=\lim_{x\to 0+} g(x)=0$. Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel $f(x)=e^{-1/x}$ und $g(x)=x$ rasch widerlegt. In der Folge verstummte die Kontroverse und in Analysislehrbüchern verbreitete sich immer mehr die Konvention, $0^0$ undefiniert zu lassen.

Donald Ervin Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass $0^0$ undefiniert gelassen wird. Wenn man $0^0=1$ nicht voraussetzen kann, verlangen viele mathematische Theoreme wie z.B. der binomische Satz

eine Sonderbehandlung für die Fälle $x=0$ oder $y=0$ oder gleichzeitig $n=0$ und $x+y=0$.

Ebenso taucht der Ausdruck $0^0$ in der Potenzreihe für die Exponentialfunktion

an der Stelle $x=0$ oder in der Summenformel für die geometrische Reihe

für $q=0$ auf. Auch hier ist die Konvention $0^0=1$ sinnvoll.

Die Konvention $0^0=1$ ist also aus praktischen Gründen sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht. Da diese Konvention aber nicht allgemein akzeptiert ist, ist es zweckmäßig, explizit auf die verwendete Definition $0^0=1\$ hinzuweisen. $0^0=1$ per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion $x^y$ an der Stelle $x=y=0$ stetig wäre.