Null hoch Null

In der Definition der Potenz wurde \(\displaystyle a^0=1\) für alle \(\displaystyle a\) gesetzt, also ist insbesondere
\(\displaystyle 0^0=1\, \)
Da \(\displaystyle 0^x\) für alle positiven \(\displaystyle x\) den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Wie die Festlegung, dass \(\displaystyle 1\) keine Primzahl ist, ist die Festlegung des Wertes von \(\displaystyle 0^0\) ebenfalls keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig.

Geschichtliche Bemerkungen

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend \(\displaystyle 0^0=1\) gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Cauchy[1] listete allerdings \(\displaystyle 0^0\) gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie \(\displaystyle 0/0\) in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. Er wollte damit anscheinend darauf hinweisen, dass man zu jeder reellen Zahl \(\displaystyle w\ge 0\) Funktionen \(\displaystyle f,g\) so angeben kann, dass \(\displaystyle f(a)=g(a)=0\) und
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=w\)
Grenzwertargumente sind zur Festlegung von \(\displaystyle 0^0\) also ungeeignet.
1833 veröffentlichte Libri[2] eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für \(\displaystyle 0^0=1\) präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte Möbius[3] einen Beweis seines Lehrers Johann Pfaff[4], der im Wesentlichen zeigte, dass \(\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^x = 1\), und einen angeblichen Beweis für \(\displaystyle \lim_{x\to 0+} f(x)^{g(x)} = 1\) falls \(\displaystyle \lim_{x\to 0+} f(x)=\lim_{x\to 0+} g(x)=0\). Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel \(\displaystyle f(x)=e^{-1/x}\) und \(\displaystyle g(x)=x\) rasch widerlegt. In der Folge verstummte die Kontroverse und in Analysislehrbüchern verbreitete sich immer mehr die Konvention, \(\displaystyle 0^0\) undefiniert zu lassen.
Donald Ervin Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass \(\displaystyle 0^0\) undefiniert gelassen wird. Wenn man \(\displaystyle 0^0=1\) nicht voraussetzen kann, verlangen viele mathematische Theoreme wie z.B. der binomische Satz
\(\displaystyle (x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n{\chooseNT n k}x^ky^{n-k}\)
eine Sonderbehandlung für die Fälle \(\displaystyle x=0\) oder \(\displaystyle y=0\) oder gleichzeitig \(\displaystyle n=0\) und \(\displaystyle x+y=0\).
Ebenso taucht der Ausdruck \(\displaystyle 0^0\) in der Potenzreihe für die Exponentialfunktion
\(\displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \)
an der Stelle \(\displaystyle x=0\) oder in der Summenformel für die geometrische Reihe
\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
für \(\displaystyle q=0\) auf. Auch hier ist die Konvention \(\displaystyle 0^0=1\) sinnvoll.
Die Konvention \(\displaystyle 0^0=1\) ist also aus praktischen Gründen sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht. Da diese Konvention aber nicht allgemein akzeptiert ist, ist es zweckmäßig, explizit auf die verwendete Definition \(\displaystyle 0^0=1\ \) hinzuweisen. \(\displaystyle 0^0=1 \) per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion \(\displaystyle x^y\) an der Stelle \(\displaystyle x=y=0\) stetig wäre.
 
 
 
1   Augustin-Louis Cauchy,1789-1857, französischer Mathematiker.
2   Guglielmo Libri, 1803-1869, italienisch-französischer Mathematiker und Bibliophiler.
3   August Ferdinand Möbius, 1790-1868, deutscher Mathematiker und Astronom
4   Johann Friedrich Pfaff, 1765-1825, deutscher Mathematiker

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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