Anordnungsaxiome
Die
Körperaxiome liefern Aussagen über das algebraische Verhalten der
reellen Zahlen. Aus unserer Anschauung wissen wir, dass die
reellen Zahlen einer gewissen Anordnung unterliegen, so dass Begriffe wie kleiner und größer einen Sinn ergeben. Diese Anordnung wird durch die folgende
Gruppe von Axiomen beschrieben.
Anordnungsaxiome
Es gibt eine
Relation ≤ (kleiner gleich) in
R mit folgenden Eigenschaften
- ∀x:x≤x (Reflexivität)
- ∀x,y:x≤y∧y≤x⟹x=y (Antisymmetrie)
- ∀x,y,z:x≤y∧y≤z⟹x≤z (Transitivität)
- Für alle x,y gilt: x≤y oder y≤x. Zwei Zahlen sollen also immer vergleichbar sein.
Im Zusammenwirken mit der
Addition und der
Multiplikation, fordern wird die Gültigkeit der folgenden Monotoniegesetze.
- ≤ ist bzgl. der Addition monoton; also: ∀a,b,c∈R:a≤b⟹a+c≤b+c
- ≤ ist bzgl. der Multiplikation monoton; also: ∀a,b,c∈R:a≤b∧0≤c⟹a⋅c≤b⋅c
Wenn
a>0 gilt, heißt
a positiv; wenn
a<0 gilt, heißt
a negativ.
Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.
Émile Lemoine
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