Einzigkeit der reellen Zahlen

Die Axiome (Körperaxiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom) verleihen dem Körper der reellen Zahlen eine gewisse Einzigartigkeit, bis auf ordnungserhaltende Isomorphismen ist diese Körper eindeutig bestimmt.

Satz 1665 (Einzigkeit der reellen Zahlen)

Sei K1\dom K_1 und K2\dom K_2 angeordnete Körper, in denen das Vollständigkeitsaxiom gilt. Dann sind sie isomorph. Es gibt also eine bijektive Abbildung φ:K1→K2\phi: \dom K_1\to \dom K_2 mit
  1. φ\phi ist Körperisomorphismus
  2. φ\phi erhält die Ordnung: a≤b  ⟹  φ(a)≤φ(b)a\le b\implies \phi(a)\le\phi(b)
  3. Ist A⊆K1A\subseteq \dom K_1 nach oben beschränkt, so ist auch φ(A)\phi(A) nach oben beschränkt und sup⁡(φ(A))=φ(sup⁡(A))\sup(\phi(A))=\phi(\sup(A))

Beweisskizze

Wir definieren φ(1)=1\phi(1)=1 und φ(n+1)=φ(n)+1\phi(n+1)=\phi(n)+1. Dann können wir φ\phi induktiv auf die natürlichen Zahlen erweitern und dann durch die entsprechenden Methoden erst auf die ganzen Zahlen in beiden Körpern und dann auf die rationalen Zahlen in beiden Körpern erweitern. Damit wird φ:Q(K1)→Q(K2)\phi:\domQ(\dom K_1)\to\domQ(\dom K_2) zum ordnungserhaltenden Körperisomorphismus.
Wir setzen dann φ\phi auf K1\dom K_1 durch die übliche Vervollständigung fort. Dann kann man überprüfen, dass für φ\phi die Behauptungen (i)-(iii) gelten. □\qed
 
 

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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