Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln

Die klassische Motivation zur Einführung der reellen Zahlen besteht darin, dass diese die Beschränkung der rationalen Zahlen, dass z.B. die Gleichung x2=2x^2=2 keine Lösung hat, überwinden sollen. Der folgende Satz stellt nun sicher, dass die reellen Zahlen diesen Wunsch auch erfüllen können.

Satz 12UB (Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln)

Sei aa eine beliebige reelle Zahl mit a≥0a\geq 0. Dann gibt es genau eine nichtnegative reelle Zahl xx, die der Gleichung x2=ax^2=a genügt. Diese Zahl heißt die Wurzel von aa und wird mit a\sqrt a bezeichnet.
Ist n∈Nn\in\domN eine positive natürliche Zahl so hat die Gleichung xn=ax^n=a eine eindeutig bestimmte nichtnegative Lösung. Diese wird als nn-te Wurzel xn\sqrtN n x bezeichnet.

Beweis

Wegen 0=0⋅00=0\cdot 0 ist die Behauptung für a=0a=0 klar. Sei jetzt a>0a>0, dann muss die gesuchte Zahl, wenn sie existiert, notwendigerweise positiv sein.
Eindeutigkeit: Sei für x≠yx\neq y die Behauptung efüllt: x2=y2=ax^2=y^2=a. Dann gilt x2−y2=(x+y)(x−y)=0x^2-y^2=(x+y)(x-y)=0. Da x+y>0x+y>0 muss also x=yx=y gelten. Widerspruch. Damit gibt es - sofern sie existiert - eine eindeutig bestimmte Lösung.
Existenz: Wir definieren folgende Menge
M:={x∈R∣ x2≤a}M:=\{x\in\domR|\, x^2\leq a\}.
Es gilt M≠∅M\neq\emptyset, da 0∈M0\in M. Weiterhin ist MM nach oben beschränkt, da
x2≤a<a+1≤(a+1)2x^2\leq a<a+1\leq (a+1)^2
und damit x<a+1x<a+1 gilt.
Nach dem Vollständigkeitsaxiom muss also das Supremum von MM existieren. Wir setzen s=∑Ms=\sum\limits M und zeigen, dass ss unsere gesuchte Lösung ist.
Es gilt sicher s2≤as^2\leq a. Um zu zeigen, dass auch s2≥as^2\geq a gilt, nehmen wir an, dass s2<as^2<a. Das wäre aber ein Widerspruch dazu, dass ss das Supremum von MM war.
Diesen Beweis kann man einfach auf den allgemeinen Fall übertragen. Für die Eindeutigkeit mache man sich klar, dass
xn−yn=(xn−1+xn−2y+xn−3y2+…+xyn−2+yn−1)(x−y)x^n-y^n=(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+xy^{n-2}+y^{n-1})(x-y)
gilt. □\qed
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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