Arithmetisch-geometrisches Mittel

Es seien zwei positive reelle Zahlen $a$ und $b$ gegeben. Wir bilden nun das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel der beiden Zahlen. Diese sollen das erste Folgenglied der zu untersuchenden Folge werden:

Rekursiv definieren wir jetzt eine Folge von arithmetischen und geometrischen Mitteln:

Wir wollen nun zeigen, dass die Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ konvergieren und gegen den gleichen Grenzwert streben. Dieser Grenzwert heißt das arithmetisch-geometrische Mittel der Zahlen $a$ und $b$.

Es gilt folgende Ungleichung:

welche aus Satz 5221E folgt. Damit ist $(a_n)$ eine monoton fallende und $(b_n)$ eine monoton wachsende Folge. Um ihre Konvergenz nachzuweisen, müssen wir nach Satz 5225A zeigen, dass die Folgen beschränkt sind. Dies ist nach Ungleichung (2) aber trivial, da $a_1$ und $b_1$ wechselweise eine obere und untere Schranke der Folgen (1) sind.

Damit ist die Konvergenz der beiden Folgen gezeigt.

Seien jetzt $\alpha=\lim a_n$ und $\beta=\lim b_n$ die Grenzwerte der beiden Folgen (1). Wenn wir in $a_{n+1}=\dfrac {a_n+b_n} 2$ zum Grenzwert übergehen, ergibt sich:

was aber $\alpha=\beta$ bedeutet. Beide Grenzwerte sind gleich.

Bei der Untersuchung des arithmetisch-geometrischen Mittels können wir zwar die Konvergenz der beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert zeigen, sind jedoch nicht in der Lage, ihn anzugeben. Dies erfordert die Hilfe feinerer analytischer Mittel, der so genannten elliptischen Integrale.

Analoge Überlegungen kann man für die Folgen, die aus arithmetischem und harmonischem Mittel zweier Zahlen $a$ und $b$ gebildet werden, anstellen. Wir setzen:

und dann

Es gilt wegen Satz 5221E wieder eine zu (2) analoge Ungleichung. Man kann also analog schließen, dass beide Folgen gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergieren.

Diesen Grenzwert können wir diesmal jedoch einfach bestimmen. Aus (3) sieht man, dass $a_nb_n=a_{n+1}b_{n+1}$ gilt. Wenn $\my$ der gemeinsame Grenzwert der beiden Folgen (3) ist, gilt dann auch

Damit ist also $\my=\sqrt{ab}$ und der Grenzwert entspricht dem geometrischen Mittel der beiden Zahlen $a$ und $b$.